The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Evolution d'une population de noyaux radioactifs

1.1. Désintégration d'un noyau radioactif

Définition

Un noyau radioactif est un noyau instable subissant spontanément une transformation appelée désintégration permettant un retour à la stabilité. Il ne "vieillit" donc pas puisqu'il se transforme sans subir de modifications progressives.

Pour un noyau donné, le phénomène de désintégration est donc aléatoire et imprévisible. Mais l'évolution d'une population de noyaux répond à une loi de probabilité.

1.2. Evolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

Méthode—Obtention de l'équation différentielle vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs

A la date

t

, un échantillon de noyaux radioactifs contient

N(t)

noyaux non désintégrés.

A la date

t+\Delta t

, la population de noyaux a diminué, l'échantillon contient

N(t+\Delta t)

noyaux non désintégrés.

La variation du nombre de noyaux

\Delta N(t)

pendant la durée

\Delta t

vaut :

\Delta N(t) = N(t+\Delta t) - N(t) < 0

Le nombre de désintégrations produites pendant cette durée est donc

-\Delta N(t)

, il est proportionnel au nombre de noyaux de l'échantillon

N(t)

et à la durée de comptage

\Delta t

-\Delta N(t) = \lambda \times N(t) \times \Delta t

avec

\lambda

la constante radioactive (en

\text{s}^{-1}

\text{min}^{-1}

...) qui dépend du noyau radioactif étudié.

Cette constante radioactive correspond à la probabilité de désintégration d'un noyau donné par unité de temps.

On peut donc écrire :

\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t} + \lambda \times N(t) = 0

.

Or lorsque

\Delta t

tend vers

0

\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t}\right) = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}\right) = \dfrac{dN(t)}{dt}

(définition de la dérivée).

On obtient alors l'équation différentielle suivante :

\dfrac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0 \quad \text{avec } \tau = \dfrac{1}{\lambda}

Méthode—Obtention de la solution de l'équation différentielle

Solution homogène : $N_h(t) = A e^{-\frac{1}{\tau} \times t} \iff N_h(t) = A e^{-\lambda \times t}$
Solution particulière : La solution particulière est de même nature que le second membre de l'équation différentielle donc $N_p(t) = 0$
Solution générale : $N(t) = N_h(t) + N_p(t) = A e^{-\lambda \times t}$
Condition initiale : À $t=0\ \text{s}$ , $N(t=0\ \text{s}) = N_0 \iff N(t=0) = A e^{-\lambda \times 0} = N_0 \iff A = N_0$

On a donc

N(t) = N_0 e^{-\lambda \times t}

Définition—Loi de décroissance radioactive

La solution de cette équation différentielle correspond à la loi de décroissance radioactive :

N(t) = N_0 e^{-\lambda \times t} \quad \text{ou} \quad N(t) = N_0 \exp(-\lambda \times t)

$N_0$ : Nombre de noyaux initialement présents dans l'échantillon.
$\lambda$ : Constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ si $t$ en $\text{s}$ ).

Attention

Il est important de savoir établir la solution de l'équation différentielle ou de vérifier qu'une solution fournie est ou n'est pas solution de l'équation différentielle.

1.3. Demi-vie d'un noyau radioactif

Définition

Un noyau radioactif est caractérisé par son temps de demi-vie noté

t_{1/2}

. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la population initiale

N_0

est divisée par deux.

N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2} = N_0 \exp(-\lambda \times t_{1/2}) \iff \dfrac{1}{2} = \exp(-\lambda \times t_{1/2})

\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) = \ln\left(\exp(-\lambda \times t_{1/2})\right) = -\lambda \times t_{1/2} \iff t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} \quad \text{ou} \quad t_{1/2} = \tau \ln(2)

1.4. Exploitation de la courbe N(t)

Méthode—Détermination de la constante de temps de la désintégration radioactive

Méthode 1 : Tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ \\ La tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ coupe l'asymptote horizontale de $N(t)$ pour $t = \tau$ .
Méthode 2 : Résoudre $N(t=\tau)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times \tau\right)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp(-1) \approx 0,37 N_0$

On peut considérer que la désintégration de la population de noyaux radioactifs est terminée au bout de

5\tau

7t_{1/2}

car il reste moins de

1\%

de noyaux non désintégrés.

N(5\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times 5\tau\right) \iff N(5\tau) = N_0 \exp(-5)

D'où

N(5\tau) \approx 0,0067 N_0

(soit

0,67\%

N_0

1.5. Activité

Définition

L'activité d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par seconde. Elle se mesure avec un compteur Geiger et s'exprime en Becquerel (

\text{Bq}

).

Quelques valeurs :

Lait : 50 à 80 $\text{Bq/L}$
Corps humain : 100 à 120 $\text{Bq/kg}$
Terre : 1000 $\text{Bq/kg}$

L'activité s'exprime donc par :

A(t) = -\dfrac{dN(t)}{dt}

A(t) = -\dfrac{dN(t)}{dt} = \lambda N(t)

N(t) = N_0 \exp(-\lambda \times t)

d'où

A(t) = \lambda N_0 \exp(-\lambda \times t)

.

Lorsque

t=0\ \text{s}

A(t=0\ \text{s}) = A_0 = \lambda N_0

, l'activité suit la loi de décroissance radioactive :

A(t) = A_0 e^{-\lambda \times t} \quad \text{ou} \quad A(t) = A_0 \exp(-\lambda \times t)

$A_0$ : Activité initiale (à $t=0\ \text{s}$ ) de l'échantillon
$\lambda$ : Constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ si $t$ en $\text{s}$ ).

1. Evolution d'une population de noyaux radioactifs

1.1. Désintégration d'un noyau radioactif

Définition

1.2. Evolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

Méthode—Obtention de l'équation différentielle vérifiée par le nombre de noyaux radioactifs

A la date

t

, un échantillon de noyaux radioactifs contient

N(t)

noyaux non désintégrés.

A la date

t+\Delta t

, la population de noyaux a diminué, l'échantillon contient

N(t+\Delta t)

noyaux non désintégrés.

La variation du nombre de noyaux

\Delta N(t)

pendant la durée

\Delta t

vaut :

\Delta N(t) = N(t+\Delta t) - N(t) < 0

Le nombre de désintégrations produites pendant cette durée est donc

-\Delta N(t)

, il est proportionnel au nombre de noyaux de l'échantillon

N(t)

et à la durée de comptage

\Delta t

-\Delta N(t) = \lambda \times N(t) \times \Delta t

avec

\lambda

la constante radioactive (en

\text{s}^{-1}

\text{min}^{-1}

...) qui dépend du noyau radioactif étudié.

Cette constante radioactive correspond à la probabilité de désintégration d'un noyau donné par unité de temps.

On peut donc écrire :

\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t} + \lambda \times N(t) = 0

.

Or lorsque

\Delta t

tend vers

0

\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t}\right) = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\left(\dfrac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}\right) = \dfrac{dN(t)}{dt}

(définition de la dérivée).

On obtient alors l'équation différentielle suivante :

\dfrac{dN(t)}{dt} + \lambda \times N(t) = 0 \quad \text{avec } \tau = \dfrac{1}{\lambda}

Méthode—Obtention de la solution de l'équation différentielle

Solution homogène : $N_h(t) = A e^{-\frac{1}{\tau} \times t} \iff N_h(t) = A e^{-\lambda \times t}$
Solution particulière : La solution particulière est de même nature que le second membre de l'équation différentielle donc $N_p(t) = 0$
Solution générale : $N(t) = N_h(t) + N_p(t) = A e^{-\lambda \times t}$
Condition initiale : À $t=0\ \text{s}$ , $N(t=0\ \text{s}) = N_0 \iff N(t=0) = A e^{-\lambda \times 0} = N_0 \iff A = N_0$

On a donc

N(t) = N_0 e^{-\lambda \times t}

Définition—Loi de décroissance radioactive

La solution de cette équation différentielle correspond à la loi de décroissance radioactive :

N(t) = N_0 e^{-\lambda \times t} \quad \text{ou} \quad N(t) = N_0 \exp(-\lambda \times t)

$N_0$ : Nombre de noyaux initialement présents dans l'échantillon.
$\lambda$ : Constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ si $t$ en $\text{s}$ ).

Attention

Il est important de savoir établir la solution de l'équation différentielle ou de vérifier qu'une solution fournie est ou n'est pas solution de l'équation différentielle.

1.3. Demi-vie d'un noyau radioactif

Définition

Un noyau radioactif est caractérisé par son temps de demi-vie noté

t_{1/2}

. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la population initiale

N_0

est divisée par deux.

N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2} = N_0 \exp(-\lambda \times t_{1/2}) \iff \dfrac{1}{2} = \exp(-\lambda \times t_{1/2})

\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) = \ln\left(\exp(-\lambda \times t_{1/2})\right) = -\lambda \times t_{1/2} \iff t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} \quad \text{ou} \quad t_{1/2} = \tau \ln(2)

1.4. Exploitation de la courbe N(t)

Méthode—Détermination de la constante de temps de la désintégration radioactive

Méthode 1 : Tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ \\ La tangente à la courbe à $t=0\ \text{s}$ coupe l'asymptote horizontale de $N(t)$ pour $t = \tau$ .
Méthode 2 : Résoudre $N(t=\tau)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times \tau\right)$ \\ $N(\tau) = N_0 \exp(-1) \approx 0,37 N_0$

On peut considérer que la désintégration de la population de noyaux radioactifs est terminée au bout de

5\tau

7t_{1/2}

car il reste moins de

1\%

de noyaux non désintégrés.

N(5\tau) = N_0 \exp\left(-\frac{1}{\tau} \times 5\tau\right) \iff N(5\tau) = N_0 \exp(-5)

D'où

N(5\tau) \approx 0,0067 N_0

(soit

0,67\%

N_0

1.5. Activité

Définition

L'activité d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations par seconde. Elle se mesure avec un compteur Geiger et s'exprime en Becquerel (

\text{Bq}

).

Quelques valeurs :

Lait : 50 à 80 $\text{Bq/L}$
Corps humain : 100 à 120 $\text{Bq/kg}$
Terre : 1000 $\text{Bq/kg}$

L'activité s'exprime donc par :

A(t) = -\dfrac{dN(t)}{dt}

A(t) = -\dfrac{dN(t)}{dt} = \lambda N(t)

N(t) = N_0 \exp(-\lambda \times t)

d'où

A(t) = \lambda N_0 \exp(-\lambda \times t)

.

Lorsque

t=0\ \text{s}

A(t=0\ \text{s}) = A_0 = \lambda N_0

, l'activité suit la loi de décroissance radioactive :

A(t) = A_0 e^{-\lambda \times t} \quad \text{ou} \quad A(t) = A_0 \exp(-\lambda \times t)

$A_0$ : Activité initiale (à $t=0\ \text{s}$ ) de l'échantillon
$\lambda$ : Constante radioactive (en $\text{s}^{-1}$ si $t$ en $\text{s}$ ).

Décroissance radioactive

1. Evolution d'une population de noyaux radioactifs

1.1. Désintégration d'un noyau radioactif

1.2. Evolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

1.3. Demi-vie d'un noyau radioactif

1.4. Exploitation de la courbe N(t)

1.5. Activité

1. Evolution d'une population de noyaux radioactifs

1.1. Désintégration d'un noyau radioactif

1.2. Evolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs

1.3. Demi-vie d'un noyau radioactif

1.4. Exploitation de la courbe N(t)

1.5. Activité