Cinématique dans le repère cartésien

Pour décrire plus simplement les mouvements d'un corps, on assimile souvent ce dernier à un point qu'on nomme point matériel : point unique qui contiendrait toute la masse du corps.

Pour connaître la position d'un point dans l'espace, il est nécessaire de disposer d'une référence : c'est le choix du référentiel d'étude, auquel on va associer une horloge et un repère d'espace.

Notons qu'un point matériel est un point géométrique dont la position peut être parfaitement définie par trois coordonnées d'espace seulement et une coordonnée temporelle.

La coordonnée temporelle d'un événement est appelée date, obtenue grâce à l'horloge associée au référentiel d'étude. L'origine des dates peut être choisie arbitrairement. La durée est l'intervalle de temps séparant deux dates.

On repère, ensuite, la position des points dans ce référentiel à l'aide d'un repère d'espace. On étudiera par la suite le repère cartésien.

On considère un repère constitué de trois axes $X, Y, Z$ rattachés à un point origine $O$ appartenant au référentiel d'étude. On associe à chaque axe un vecteur unitaire. Les vecteurs $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sont alors les vecteurs unitaires des axes $OX$, $OY$ et $OZ$. On le note $R(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

A une date $t$ donnée, on note la position du point $M$ par le vecteur $\vec{OM}(t)$ appelé vecteur position.
Ce vecteur $\vec{OM}(t)$ a pour expression :
$$\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$$
$x(t), y(t)$ et $z(t)$ sont les coordonnées fonctions du temps et sont appelées équations horaires du mouvement.

L'équation de la trajectoire est une relation indépendante de la variable temps liant les coordonnées $x, y$ et $z$.
Exemples : $x = f(y)$, $y = f(z)$...

Comment déterminer l'équation de la trajectoire ?

• Etape 1 : Isoler la variable $t$ dans l'équation horaire la plus simple (très souvent une équation du premier degré).
• Etape 2 : Remplacer la variable $t$ par l'expression trouvée précédemment dans la seconde équation horaire puis simplifier l'équation.