Mouvement dans le champ de gravitation

THE MATHS TAILOR

1. Les lois de Kepler

1.1. Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques

Définition

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'inertie d'une planète est une ellipse dont l'un des foyers est le centre du Soleil.

Remarque

A l'exception de Mercure, les mouvements des planètes peuvent être considérées comme circulaires.
On appelle périhélie, la position la plus proche du Soleil et aphélie, la position la plus éloignée du Soleil.

1.2. Deuxième loi de Kepler ou loi des aires

Définition

Le rayon vecteur SP qui relie le centre S du Soleil et le centre P de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Méthode

Soit

\Delta t_1 = \Delta t_2 = \Delta t

.
Or le centre de la planète parcourt des arcs elliptiques de longueur

L_1

L_2

tels que

L_1 > L_2

.
On a donc

\dfrac{L_1}{\Delta t} > \dfrac{L_2}{\Delta t}

soit

v_1 > v_2

: La vitesse du centre la planète n'est pas constante.
Dans le référentiel héliocentrique, la vitesse de la planète devient donc plus grande lorsqu'elle se rapproche du Soleil. Elle est maximale au périhélie et minimale à l'aphélie.

1.3. Troisième de Kepler ou loi des périodes

Définition

Le carré de la période de révolution «

T

» d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe «

a

» de l'ellipse.

\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}

Quelles que soient les planètes choisies, le rapport est le même. Il ne dépend pas de la planète mais uniquement des caractéristiques du Soleil.

1.4. Généralisation

Remarque

Satellites : Tout corps qui est en révolution autour d'un astre.
Les lois de Kepler, énoncées pour décrire le mouvement des planètes du système solaire, s'appliquent également à tous les satellites en révolution autour d'un astre (exemples : Terre-Lune ou Terre-Satellite artificiel).
Dans l'approximation des trajectoires circulaires, la trajectoire est un cercle de rayon R, la troisième loi de Kepler devient alors $\dfrac{T^2}{R^3} = \text{cste}$ .

1. Les lois de Kepler

1.1. Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques

Définition

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'inertie d'une planète est une ellipse dont l'un des foyers est le centre du Soleil.

Remarque

A l'exception de Mercure, les mouvements des planètes peuvent être considérées comme circulaires.
On appelle périhélie, la position la plus proche du Soleil et aphélie, la position la plus éloignée du Soleil.

1.2. Deuxième loi de Kepler ou loi des aires

Définition

Le rayon vecteur SP qui relie le centre S du Soleil et le centre P de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Méthode

Soit

\Delta t_1 = \Delta t_2 = \Delta t

.
Or le centre de la planète parcourt des arcs elliptiques de longueur

L_1

L_2

tels que

L_1 > L_2

.
On a donc

\dfrac{L_1}{\Delta t} > \dfrac{L_2}{\Delta t}

soit

v_1 > v_2

1.3. Troisième de Kepler ou loi des périodes

Définition

Le carré de la période de révolution «

T

» d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe «

a

» de l'ellipse.

\dfrac{T^2}{a^3} = \text{cste}

Quelles que soient les planètes choisies, le rapport est le même. Il ne dépend pas de la planète mais uniquement des caractéristiques du Soleil.

1.4. Généralisation

Remarque

Satellites : Tout corps qui est en révolution autour d'un astre.
Les lois de Kepler, énoncées pour décrire le mouvement des planètes du système solaire, s'appliquent également à tous les satellites en révolution autour d'un astre (exemples : Terre-Lune ou Terre-Satellite artificiel).
Dans l'approximation des trajectoires circulaires, la trajectoire est un cercle de rayon R, la troisième loi de Kepler devient alors $\dfrac{T^2}{R^3} = \text{cste}$ .