Circuit RC série

Lorsque l'interrupteur est en position 1, à l'instant t=0s, le condensateur est déchargé et la tension à ses bornes est donc nulle : $u_c(t=0s) = 0\text{ V}$. La tension aux bornes du condensateur augmente progressivement au cours de la charge, elle évolue en fonction du temps : on la note $u_c(t)$.

D'après la loi des mailles : $E = u_c(t) + u_R(t)$
On a $u_R(t) = R \times i(t)$ or $i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}$ et $q(t) = C \times u_c(t) \implies i(t) = \dfrac{d}{dt}[C \times u_c(t)] = C \times \dfrac{du_c(t)}{dt}$
Donc $u_R(t) = R \times C \times \dfrac{du_c(t)}{dt}$
L'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge est :
$$E = u_c(t) + R \times C \times \dfrac{du_c(t)}{dt}$$
Sous la forme canonique :
$$\dfrac{du_c(t)}{dt} + \dfrac{1}{R \times C} u_c(t) = \dfrac{E}{R \times C}$$
avec $\tau = R \times C$

• Solution homogène : $u_{ch}(t) = A e^{-\frac{1}{\tau} t}$ avec $\tau = RC$
• Solution particulière : La solution particulière est de même nature que le second membre de l'équation différentielle donc $u_{cp}(t) = \text{cste}$. $\dfrac{du_{cp}(t)}{dt} + \dfrac{1}{RC} u_{cp}(t) = \dfrac{E}{RC}$ or $\dfrac{du_{cp}(t)}{dt} = 0 \implies u_{cp}(t) = E$
• Solution générale : $u_c(t) = u_{ch}(t) + u_{cp}(t) \implies u_c(t) = A e^{-\frac{1}{\tau} t} + E$
• Condition initiale : A t=0s, $u_c(t=0s) = 0$ (condensateur déchargé) $\implies u_c(t=0) = A e^{-\frac{1}{\tau} \times 0} + E = 0 \implies A+E=0 \implies A=-E$

On a donc la solution de cette équation différentielle correspondant à la loi d'évolution de la tension aux bornes du condensateur dans le cas de la charge :
$$u_c(t) = E\left[1 - e^{-\frac{1}{\tau} t}\right] = E\left[1 - \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]$$

• $u_c$ : Tension aux bornes du condensateur (V)
• $E$ : Tension aux bornes du générateur de tension (V)
• $\tau = R \times C$ : Constante de temps (ou temps caractéristique) (s)
• $R$ : Valeur de la résistance du conducteur ohmique (\Omega)
• $C$ : Capacité du condensateur (F)