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Calcul intégral | The Maths Tailor

Calcul intégral

terminale

Thème : analyse

Exercices & Méthodes · Bientôt

1. Intégrale et aire

1.1. Unité d'aire et définition

Encadré—Unité d'aire

Dans un repère

(O, I, J)

, le rectangle de dimensions

1 \times 1

est le rectangle "unité" d'aire

1

u.a.

Lorsque les longueurs unitaires sont connues, on peut convertir les unités d'aire en unités de mesure (cm², etc.).

Définition—Intégrale d'une fonction positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a\,;\,b]

.

On appelle intégrale de $f$ sur $[a\,;\,b]$ l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = a

x = b

1.2. Notation et premières propriétés

Encadré—Notation

L'intégrale de

f

sur

[a\,;\,b]

se note :

\int_a^b f(x)\,dx

On lit : « intégrale de

a

b

f(x)\,dx

».

Remarques :
-

a

b

sont les bornes d'intégration.
-

x

est la variable d'intégration : elle peut être remplacée par toute autre lettre. Ainsi

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt

1.3. Encadrement par des rectangles

Encadré—Méthode des rectangles

Soit

f

continue, positive et monotone sur

[a\,;\,b]

. On partage

[a\,;\,b]

n

sous-intervalles de même amplitude

\ell = \dfrac{b-a}{n}

.

Sur chaque sous-intervalle

[x\,;\,x+\ell]

, l'aire sous la courbe est comprise entre :

\ell \times f(x) \leq \text{aire} \leq \ell \times f(x + \ell)

Ainsi on obtient un encadrement de

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

par la somme des rectangles inférieurs et supérieurs.

1.4. Extension aux fonctions de signe quelconque

Proposition—Intégrale d'une fonction négative

Soit

f

une fonction continue et négative sur

[a\,;\,b]

. L'aire de la surface délimitée par la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites

x = a

x = b

est égale à :

-\int_a^b f(x)\,dx

2. Intégrale et primitive

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Propriétés des intégrales

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4. Intégration par parties

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5. Applications du calcul intégral

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1. Intégrale et aire

1.1. Unité d'aire et définition

Encadré—Unité d'aire

Dans un repère

(O, I, J)

, le rectangle de dimensions

1 \times 1

est le rectangle "unité" d'aire

1

u.a.

Lorsque les longueurs unitaires sont connues, on peut convertir les unités d'aire en unités de mesure (cm², etc.).

Définition—Intégrale d'une fonction positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a\,;\,b]

.

On appelle intégrale de $f$ sur $[a\,;\,b]$ l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = a

x = b

1.2. Notation et premières propriétés

Encadré—Notation

L'intégrale de

f

sur

[a\,;\,b]

se note :

\int_a^b f(x)\,dx

On lit : « intégrale de

a

b

f(x)\,dx

».

Remarques :
-

a

b

sont les bornes d'intégration.
-

x

est la variable d'intégration : elle peut être remplacée par toute autre lettre. Ainsi

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt

1.3. Encadrement par des rectangles

Encadré—Méthode des rectangles

Soit

f

continue, positive et monotone sur

[a\,;\,b]

. On partage

[a\,;\,b]

n

sous-intervalles de même amplitude

\ell = \dfrac{b-a}{n}

.

Sur chaque sous-intervalle

[x\,;\,x+\ell]

, l'aire sous la courbe est comprise entre :

\ell \times f(x) \leq \text{aire} \leq \ell \times f(x + \ell)

Ainsi on obtient un encadrement de

\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx

par la somme des rectangles inférieurs et supérieurs.

1.4. Extension aux fonctions de signe quelconque

Proposition—Intégrale d'une fonction négative

Soit

f

une fonction continue et négative sur

[a\,;\,b]

. L'aire de la surface délimitée par la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites

x = a

x = b

est égale à :

-\int_a^b f(x)\,dx

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