Calculs avec les nombres relatifs

THE MATHS TAILOR

1. Calcul sans parenthèses

1.1. Introduction historique

Encadré—Histoire

C'est plus souvent au mathématicien indien Brahmagupta (598-660) que l'on attribue la découverte des « nombres » négatifs. Sans justification, il donne des règles de calcul permettant d'expliquer des débits dans les comptes pour les besoins du commerce (ventes, dettes, …) :

« Une dette retranchée du néant devient un bien, un bien retranché du néant devient une dette. »

L'introduction des quantités négatives en occident est cependant difficile. Au XVIIe siècle encore, Lazare Carnot (ingénieur et mathématicien français) niait l'existence des nombres négatifs :

« Pour obtenir un nombre négatif, il faudrait ôter quelque chose à rien. »

1.2. Addition et soustraction de nombres relatifs

Théorème—Règles d'addition et soustraction

Pour calculer une somme ou une différence de nombres relatifs :

Si les nombres ont des signes contraires :

Prendre le signe du plus grand (en valeur absolue)
Faire leur différence

Si les nombres ont le même signe :

Garder le signe commun
Faire leur somme

Démonstration bientôt disponible

Exemple

$-3 + 8 = 5$ (signes contraires : on prend le signe $+$ du plus grand et on fait $8 - 3 = 5$ )
$-2 - 7 = -9$ (même signe $-$ : on garde le signe $-$ et on fait $2 + 7 = 9$ )
$3 - 9 = -6$ (signes contraires : on prend le signe $-$ du plus grand et on fait $9 - 3 = 6$ )
$4 + 7 = 11$ (même signe $+$ : on garde le signe $+$ et on fait $4 + 7 = 11$ )

Méthode—Effectuer des additions et soustractions (calcul long)

Méthode : On additionne les nombres positifs entre eux, et on additionne les nombres négatifs entre eux.

Exemple a) Calculer :

-3 + 8 - 4 + 12 - 13 - 11 + 10

-3 + 8 - 4 + 12 - 13 - 11 + 10 = (8 + 12 + 10) + (-3 - 4 - 13 - 11)

= 30 - 31 = -1

Exemple b) Calculer :

-2 + 5 - 10 + 14 + 32 - 18 - 15

-2 + 5 - 10 + 14 + 32 - 18 - 15 = (5 + 14 + 32) + (-2 - 10 - 18 - 15)

= 51 - 45 = 6