Combinatoire et dénombrement

THE MATHS TAILOR

1. Principe additif et principe multiplicatif

1.1. Notion de dénombrement

Définition—Ensemble fini, cardinal, dénombrement

- Un ensemble

E

est fini lorsqu'il admet un nombre fini d'éléments.
- Le nombre d'éléments de

E

est appelé le cardinal de

E

, noté

\text{Card}(E)

|E|

.
- Dénombrer, c'est déterminer le cardinal d'un ensemble fini.
- Deux ensembles sont disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun.

Exemples :
- L'ensemble

E

des joueurs d'une équipe de foot est fini :

\text{Card}(E) = 11

.
-

\mathbb{N}

n'est pas un ensemble fini.

1.2. Principe additif

Proposition—Principe additif

Soit

E_1, E_2, \ldots, E_p

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

\text{Card}(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_p) = \text{Card}(E_1) + \text{Card}(E_2) + \cdots + \text{Card}(E_p)

1.3. Principe multiplicatif et produit cartésien

Définition—Produit cartésien

Soit

p

ensembles finis

E_1, E_2, \ldots, E_p

.
- Le produit cartésien

E_1 \times E_2

est l'ensemble des couples

(a_1, a_2)

où

a_1 \in E_1

a_2 \in E_2

.
- Plus généralement,

E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p

est l'ensemble des

p

-uplets

(a_1, a_2, \ldots, a_p)

où

a_i \in E_i

1. Principe additif et principe multiplicatif

1.1. Notion de dénombrement

Définition—Ensemble fini, cardinal, dénombrement

- Un ensemble

E

est fini lorsqu'il admet un nombre fini d'éléments.
- Le nombre d'éléments de

E

est appelé le cardinal de

E

, noté

\text{Card}(E)

|E|

.
- Dénombrer, c'est déterminer le cardinal d'un ensemble fini.
- Deux ensembles sont disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun.

Exemples :
- L'ensemble

E

des joueurs d'une équipe de foot est fini :

\text{Card}(E) = 11

.
-

\mathbb{N}

n'est pas un ensemble fini.

1.2. Principe additif

Proposition—Principe additif

Soit

E_1, E_2, \ldots, E_p

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

\text{Card}(E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_p) = \text{Card}(E_1) + \text{Card}(E_2) + \cdots + \text{Card}(E_p)

1.3. Principe multiplicatif et produit cartésien

Définition—Produit cartésien

Soit

p

ensembles finis

E_1, E_2, \ldots, E_p

.
- Le produit cartésien

E_1 \times E_2

est l'ensemble des couples

(a_1, a_2)

où

a_1 \in E_1

a_2 \in E_2

.
- Plus généralement,

E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_p

est l'ensemble des

p

-uplets

(a_1, a_2, \ldots, a_p)

où

a_i \in E_i