Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon.
Proposition—Continuité en un point et sur un intervalle
Soit f définie sur un intervalle I contenant un réel a. - f est continue en a si : x→alimf(x)=f(a). - f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
Démonstration bientôt disponible
Théorème—Dérivabilité implique continuité
Si une fonction est dérivable sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
*(Admis)*
Démonstration bientôt disponible
Méthode—Reconnaître graphiquement une fonction continue
Exemple : Étudier la continuité des fonctions f et g sur [−2;2].
- La courbe de f peut se tracer sans lever le crayon : f semble continue sur [−2;2]. - La courbe de g ne peut pas se tracer sans lever le crayon : gn'est pas continue sur [−2;2]. Elle semble cependant continue sur [−2;1] et sur ]1;2].
1.2. Fonctions de référence et opérations
Encadré—Fonctions continues de référence
Les fonctions suivantes sont continues sur l'intervalle indiqué :
| Fonction | Intervalle | |----------|------------| | ∣x∣ | R | | xn (n∈N) | R | | Polynôme | R | | ex | R | | x | [0;+∞[ | | x1 | ]−∞;0[ et ]0;+∞[ | | sinx | R | | cosx | R |
2. Théorème des valeurs intermédiaires
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
Proposition—Opérations sur les fonctions continues
Si f et g sont continues sur I, alors : - f+g, f×g, fn (n∈N) et ef sont continues sur I. - Si g ne s'annule pas sur I, alors gf est continue sur I. - Si f est positive sur I, alors f est continue sur I.
Remarque : Dans un tableau de variations, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction.
Démonstration bientôt disponible
Méthode—Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux
Exemple : Soit f définie sur R par : f(x)=⎩⎨⎧−x+2x−4−2x+13si x<3si 3≤x<5si x≥5
Chaque morceau est un polynôme, donc continu sur R. On étudie la continuité aux raccords :
En x=3 : x→3−limf(x)=−3+2=−1x→3+limf(x)=3−4=−1=f(3) Donc f est continue en 3.
En x=5 : x→5−limf(x)=5−4=1x→5+limf(x)=−10+13=3 Les limites à gauche et à droite sont différentes : fn'est pas continue en 5.
Conclusion : f est continue sur ]−∞;5[ et sur [5;+∞[.
