The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

Dérivation | The Maths Tailor

1. Limite et nombre dérivé

1.1. Limite en zéro d'une fonction

Exemple—Fonction rationnelle

Soit la fonction

f

définie sur

]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[

par

f(x) = \dfrac{(x+1)^2 - 1}{x}

.

L'image de

0

par la fonction

f

n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de

f(x)

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On constate que

f(x)

se rapproche de

2

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On dit que la limite de

f(x)

lorsque

x

tend vers

0

est égale à

2

et on note :

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 2

Définition—Limite en zéro

On dit que

f

a pour limite

L

lorsque

x

tend vers

0

si les valeurs de

f(x)

peuvent être aussi proches de

L

que l'on veut pourvu que

x

soit suffisamment proche de

0

.

On note :

\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = L

1.2. Nombre dérivé et dérivabilité

Remarque

Sur le graphique, la pente de la droite

(AM)

sécante à la courbe est égale à :

\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

, avec

h \neq 0

.

Lorsque

M

se rapproche de

A

h

se rapproche de

0

. La droite

(AM)

se rapproche alors d'une position limite dont la pente est égale à

\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

.

Cette pente s'appelle le nombre dérivé de

f

a

et se note

f'(a)

1.3. Fonction valeur absolue

Définition—Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction

f

définie sur

\mathbb{R}

par

f(x) = |x|

.

Si

x \geq 0

, alors

f(x) = |x| = x

x \leq 0

, alors

f(x) = |x| = -x

2. Tangente à une courbe