Dérivation

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.

- Si $f'(x) \leq 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) \geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 + \dfrac{9}{2}x^2 - 12x + 5$ définie sur $\mathbb{R}$.

a) $f'(x) = 3x^2 + 9x - 12$

b) Discriminant : $\Delta = 81 + 144 = 225$. Racines : $x_1 = \dfrac{-9 - 15}{6} = -4$ et $x_2 = \dfrac{-9 + 15}{6} = 1$.

Comme $a = 3 > 0$, $f'$ est positive, puis négative, puis positive.

c) Tableau de variations :
$$f(-4) = 61 \qquad f(1) = -\frac{3}{2}$$

| $x$ | $-\infty$ | | $-4$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $61$ | $\searrow$ | $-\frac{3}{2}$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |