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Équations différentielles | The Maths Tailor

Équations différentielles

terminale-techno

Thème : analyse

Exercices & Méthodes · Bientôt

1. Notion d'équation différentielle

1.1. Définition et exemples

Définition—Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

Exemple—Exemples d'équations différentielles et de solutions

L'équation différentielle $y' = 5$ (ou $\dfrac{dy}{dx} = 5$ ) admet pour solution $y = 5x$ . En effet, $(5x)' = 5$ . La solution n'est pas unique : $y = 5x + C$ pour tout $C \in \mathbb{R}$ convient.
L'équation différentielle $y' = 2x$ admet pour solution $y = x^2$ , mais aussi $y = x^2 + 1$ (car $(x^2 + 1)' = 2x$ ). Pour une équation différentielle, la solution n'est habituellement pas unique.

Méthode—Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Énoncé : Prouver que la fonction

g

définie sur

]0\,;\,+\infty[

par

g(x) = 3x^2 + \ln x

est solution de l'équation différentielle

y' = 6x + \dfrac{1}{x}

.

Correction :

Pour tout

x \in ]0\,;\,+\infty[

, on a :

g'(x) = 3 \times 2x + \dfrac{1}{x} = 6x + \dfrac{1}{x}

Donc

g

est bien solution de l'équation différentielle

y' = 6x + \dfrac{1}{x}

2. Équations différentielles du type $y' = ay$

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3. Équations différentielles du type $y' = ay + b$

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4. Équations différentielles du type $y'' + \omega^2 y = 0$

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1. Notion d'équation différentielle

1.1. Définition et exemples

Définition—Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

Exemple—Exemples d'équations différentielles et de solutions

L'équation différentielle $y' = 5$ (ou $\dfrac{dy}{dx} = 5$ ) admet pour solution $y = 5x$ . En effet, $(5x)' = 5$ . La solution n'est pas unique : $y = 5x + C$ pour tout $C \in \mathbb{R}$ convient.
L'équation différentielle $y' = 2x$ admet pour solution $y = x^2$ , mais aussi $y = x^2 + 1$ (car $(x^2 + 1)' = 2x$ ). Pour une équation différentielle, la solution n'est habituellement pas unique.

Méthode—Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Énoncé : Prouver que la fonction

g

définie sur

]0\,;\,+\infty[

par

g(x) = 3x^2 + \ln x

est solution de l'équation différentielle

y' = 6x + \dfrac{1}{x}

.

Correction :

Pour tout

x \in ]0\,;\,+\infty[

, on a :

g'(x) = 3 \times 2x + \dfrac{1}{x} = 6x + \dfrac{1}{x}

Donc

g

est bien solution de l'équation différentielle

y' = 6x + \dfrac{1}{x}

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