Équations polynomiales

L'équation $az^2 + bz + c = 0$ (avec $a \neq 0$, $a, b, c \in \mathbb{R}$) :

- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles distinctes :
$$z_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

- Si $\Delta = 0$ : une unique solution réelle :
$$z_0 = -\frac{b}{2a}$$

- Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées :
$$z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad z_2 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

Démonstration : On met le trinôme sous forme canonique :
$$az^2 + bz + c = a\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$

- Si $\Delta < 0$ : $\left(z + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2} = -\dfrac{-\Delta}{4a^2} = i^2 \cdot \dfrac{-\Delta}{4a^2}$, d'où les deux solutions complexes.

Exemple a) $z^2 + 5 = 0$
$$z^2 = -5 = 5i^2 \implies z = i\sqrt{5} \text{ ou } z = -i\sqrt{5}$$

Exemple b) $z^2 + 3z + 4 = 0$

$\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$

$$z_1 = \frac{-3 + i\sqrt{7}}{2} \qquad z_2 = \frac{-3 - i\sqrt{7}}{2}$$