The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Définition et propriété

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle de base a

La fonction

x \mapsto a^x

définie sur

\mathbb{R}

, avec

a > 0

, s'appelle fonction exponentielle de base $a$ .

Exemple

La fonction exponentielle de base 1,2 est définie sur

\mathbb{R}

par

x \mapsto 1,2^x

.

Pour une suite géométrique de raison

a = 2

et de premier terme 1, on a

u_n = 2^n

.

Pour la fonction correspondante, on a :

f(4) = 2^4

mais on a également :

f(1,3) = 2^{1,3}

.

Et de façon générale,

f(x) = 2^x

pour tout réel

x

positif.

Remarque

Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction exponentielle.

1.2. Propriétés fondamentales

Proposition

La fonction exponentielle de base

a

est strictement positive sur

\mathbb{R}

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Extension aux valeurs négatives

a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}

L'ensemble de définition des fonctions exponentielles peut ainsi être étendu aux valeurs de

x

négatives.

1.3. Propriétés algébriques

Proposition

a^0 = 1

a^1 = a

a^{x+y} = a^x \times a^y

a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}

(a^x)^n = a^{nx}

, avec

n

un entier relatif.

1. Définition et propriété

1.1. Définition

Définition—Fonction exponentielle de base a

La fonction

x \mapsto a^x

définie sur

\mathbb{R}

, avec

a > 0

, s'appelle fonction exponentielle de base $a$ .

Exemple

La fonction exponentielle de base 1,2 est définie sur

\mathbb{R}

par

x \mapsto 1,2^x

.

Pour une suite géométrique de raison

a = 2

et de premier terme 1, on a

u_n = 2^n

.

Pour la fonction correspondante, on a :

f(4) = 2^4

mais on a également :

f(1,3) = 2^{1,3}

.

Et de façon générale,

f(x) = 2^x

pour tout réel

x

positif.

Remarque

Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction exponentielle.

1.2. Propriétés fondamentales

Proposition

La fonction exponentielle de base

a

est strictement positive sur

\mathbb{R}

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Extension aux valeurs négatives

a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}

L'ensemble de définition des fonctions exponentielles peut ainsi être étendu aux valeurs de

x

négatives.

1.3. Propriétés algébriques

Proposition

a^0 = 1

a^1 = a

a^{x+y} = a^x \times a^y

a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}

(a^x)^n = a^{nx}

, avec

n

un entier relatif.

Fonctions exponentielles

1. Définition et propriété

1.1. Définition

1.2. Propriétés fondamentales

1.3. Propriétés algébriques

1. Définition et propriété

1.1. Définition

1.2. Propriétés fondamentales

1.3. Propriétés algébriques