The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Cosinus, sinus et cercle trigonométrique

Définition—Cosinus et sinus

Soit

M

le point du cercle trigonométrique associé au nombre

x

(angle orienté).
- Le cosinus de

x

est l'abscisse de

M

et on note

\cos(x)

.
- Le sinus de

x

est l'ordonnée de

M

et on note

\sin(x)

Proposition—Propriétés fondamentales

-1 \leq \sin(x) \leq 1

-1 \leq \cos(x) \leq 1

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Valeurs remarquables :

|

x

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

|
|-----|-----|---|---|---|---|---|
|

\cos(x)

1

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{1}{2}

0

-1

|
|

\sin(x)

0

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1

0

Méthode—Résoudre une équation et une inéquation trigonométrique

Exemple 1) Résoudre dans

\mathbb{R}

\cos^2(x) = \dfrac{1}{2}

\cos^2(x) = \frac{1}{2} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2

\left(\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0

\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{ou} \quad \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

S = \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\}

Exemple 2) Résoudre dans

[-\pi\,;\,\pi]

\sin(x) \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

On résout d'abord

\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

dans

[-\pi\,;\,\pi]

x = \dfrac{\pi}{3}

x = \dfrac{2\pi}{3}

.

On cherche les valeurs de sinus inférieures à

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

S = \left[-\pi\,;\,\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}\,;\,\pi\right]

1. Cosinus, sinus et cercle trigonométrique

Définition—Cosinus et sinus

Soit

M

le point du cercle trigonométrique associé au nombre

x

(angle orienté).
- Le cosinus de

x

est l'abscisse de

M

et on note

\cos(x)

.
- Le sinus de

x

est l'ordonnée de

M

et on note

\sin(x)

Proposition—Propriétés fondamentales

-1 \leq \sin(x) \leq 1

-1 \leq \cos(x) \leq 1

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Valeurs remarquables :

|

x

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

|
|-----|-----|---|---|---|---|---|
|

\cos(x)

1

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{1}{2}

0

-1

|
|

\sin(x)

0

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

1

0

Méthode—Résoudre une équation et une inéquation trigonométrique

Exemple 1) Résoudre dans

\mathbb{R}

\cos^2(x) = \dfrac{1}{2}

\cos^2(x) = \frac{1}{2} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2

\left(\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0

\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{ou} \quad \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

S = \left\{\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\}

Exemple 2) Résoudre dans

[-\pi\,;\,\pi]

\sin(x) \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}

.

On résout d'abord

\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

dans

[-\pi\,;\,\pi]

x = \dfrac{\pi}{3}

x = \dfrac{2\pi}{3}

.

On cherche les valeurs de sinus inférieures à

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

S = \left[-\pi\,;\,\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2\pi}{3}\,;\,\pi\right]

Fonctions trigonométriques