Fonctions à valeurs vectorielles

THE MATHS TAILOR

1. Dérivabilité

1.1. Définition

Remarque

Dans tout ce chapitre, les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle

I

\mathbb{R}

à valeurs dans un

\mathbb{K}

-espace vectoriel normé

E

de dimension finie (

\mathbb{K} = \mathbb{R}

\mathbb{K} = \mathbb{C}

Définition—Dérivabilité en un point

Soit

f : I \to E

. On dit que

f

est dérivable en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite en

a

. Dans ce cas, cette limite est notée

f'(a)

Proposition—Dérivabilité et continuité

Soit

f : I \to E

. Si

f

est dérivable en

a \in I

, alors

f

est continue en

a

Définition—Négligeabilité

Soient

f

une fonction à valeurs dans

E

g

une fonction à valeurs dans

\mathbb{K}

, toutes deux définies sur un voisinage de

a

(éventuellement non définies en

a

). On dit que

f

est négligeable devant $g$ en $a$ si

\displaystyle\lim_a \dfrac{f}{g} = 0

. On note alors

f \underset{a}{=} o(g)

Proposition—Dérivabilité et développement limité

Une fonction

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si

f

admet un développement limité d'ordre 1 en

a

. Dans ce cas, ce développement limité est

f(t) \underset{t \to a}{=} f(a) + f'(a)(t-a) + o(t-a)

Proposition—Dérivabilité et fonctions coordonnées

Soit

(e_1, \ldots, e_n)

une base de

E

. Alors

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si pour tout

i \in \llbracket 1, n \rrbracket

f_i = e_i^* \circ f

est dérivable en

a

. Dans ce cas,

f'(a) = \sum_{i=1}^n f_i'(a) e_i

ou encore

\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad (e_i^* \circ f)'(a) = e_i^* \circ f'(a)

Remarque

Le fait que

f_i = e_i^* \circ f

pour tout

i \in \llbracket 1, n \rrbracket

signifie que :

\forall t \in I, \quad f(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t) e_i

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soit

f : I \to E

.

Alors

f

est dérivable à droite en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite à droite en

a

.

De même,

f

est dérivable à gauche en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite à gauche en

a

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition—Combinaison linéaire

Soient

f

g

deux fonctions de

I

dans

E

dérivables en

a \in I

(resp. sur

I

). Alors pour tout

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

\lambda f + \mu g

est dérivable en

a

(resp. sur

I

) et

(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'

1.3. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$

Définition—Fonction de classe

\mathcal{C}^k

Soient

f : I \to E

k \in \mathbb{N}

. On dit que

f

est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si

f

est dérivable

k

fois sur

I

et si

f^{(k)}

est continue sur

I

. On dit que

f

est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si

f

est indéfiniment dérivable sur

I

1. Dérivabilité

1.1. Définition

Remarque

Dans tout ce chapitre, les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle

I

\mathbb{R}

à valeurs dans un

\mathbb{K}

-espace vectoriel normé

E

de dimension finie (

\mathbb{K} = \mathbb{R}

\mathbb{K} = \mathbb{C}

Définition—Dérivabilité en un point

Soit

f : I \to E

. On dit que

f

est dérivable en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite en

a

. Dans ce cas, cette limite est notée

f'(a)

Proposition—Dérivabilité et continuité

Soit

f : I \to E

. Si

f

est dérivable en

a \in I

, alors

f

est continue en

a

Définition—Négligeabilité

Soient

f

une fonction à valeurs dans

E

g

une fonction à valeurs dans

\mathbb{K}

, toutes deux définies sur un voisinage de

a

(éventuellement non définies en

a

). On dit que

f

est négligeable devant $g$ en $a$ si

\displaystyle\lim_a \dfrac{f}{g} = 0

. On note alors

f \underset{a}{=} o(g)

Proposition—Dérivabilité et développement limité

Une fonction

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si

f

admet un développement limité d'ordre 1 en

a

. Dans ce cas, ce développement limité est

f(t) \underset{t \to a}{=} f(a) + f'(a)(t-a) + o(t-a)

Proposition—Dérivabilité et fonctions coordonnées

Soit

(e_1, \ldots, e_n)

une base de

E

. Alors

f : I \to E

est dérivable en

a \in I

si et seulement si pour tout

i \in \llbracket 1, n \rrbracket

f_i = e_i^* \circ f

est dérivable en

a

. Dans ce cas,

f'(a) = \sum_{i=1}^n f_i'(a) e_i

ou encore

\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \quad (e_i^* \circ f)'(a) = e_i^* \circ f'(a)

Remarque

Le fait que

f_i = e_i^* \circ f

pour tout

i \in \llbracket 1, n \rrbracket

signifie que :

\forall t \in I, \quad f(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t) e_i

Définition—Dérivabilité à gauche, à droite

Soit

f : I \to E

.

Alors

f

est dérivable à droite en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite à droite en

a

.

De même,

f

est dérivable à gauche en $a \in I$ si

t \mapsto \dfrac{f(t) - f(a)}{t - a}

admet une limite à gauche en

a

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition—Combinaison linéaire

Soient

f

g

deux fonctions de

I

dans

E

dérivables en

a \in I

(resp. sur

I

). Alors pour tout

(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2

\lambda f + \mu g

est dérivable en

a

(resp. sur

I

) et

(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'

1.3. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$

Définition—Fonction de classe

\mathcal{C}^k

Soient

f : I \to E

k \in \mathbb{N}

. On dit que

f

est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si

f

est dérivable

k

fois sur

I

et si

f^{(k)}

est continue sur

I

. On dit que

f

est de classe $\mathcal{C}^\infty$ si

f

est indéfiniment dérivable sur

I

Fonctions à valeurs vectorielles

1. Dérivabilité

1.1. Définition

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

1.3. Fonctions de classe Ck\mathcal{C}^kCk

1. Dérivabilité

1.1. Définition

1.2. Opérations sur les fonctions dérivables

1.3. Fonctions de classe Ck\mathcal{C}^kCk

1.3. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$

1.3. Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$