The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Définition et représentation graphique

1.1. Historique

Remarque—Histoire des suites

Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre

\pi

. Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procédé, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique.

Vers la fin du XVII

^e

siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, ...

Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIX

^e

siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857).

1.2. Définition d'une suite

Exemple—Introduction

On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, ...

On note

(u_n)

l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que :

u_0 = 1

: le premier terme de la suite

u_1 = 3

: le 2

^e

terme

u_2 = 5

: le 3

^e

terme

u_3 = 7

...

On a ainsi défini une suite numérique.

1.3. Suites définies en fonction de n (forme explicite)

Méthode—Calculer des termes d'une suite définie en fonction de n

Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes :

a)

u_n = 2n

v_n = 3n^2 - 1

Correction :

a) On considère :

u_n = 2n

. Les premiers termes de cette suite sont donc :

\begin{align*} u_0 &= 2 \times 0 = 0 \\ u_1 &= 2 \times 1 = 2 \\ u_2 &= 2 \times 2 = 4 \\ u_3 &= 2 \times 3 = 6 \end{align*}

b) On considère :

v_n = 3n^2 - 1

. Les premiers termes de cette suite sont donc :

\begin{align*} v_0 &= 3 \times 0^2 - 1 = -1 \\ v_1 &= 3 \times 1^2 - 1 = 2 \\ v_2 &= 3 \times 2^2 - 1 = 11 \\ v_3 &= 3 \times 3^2 - 1 = 26 \end{align*}

1.4. Suites définies par récurrence

Définition—Suite définie par récurrence

Chaque terme de la suite s'obtient à partir du terme précédent. On exprime en général

u_{n+1}

en fonction de

u_n

. En effet, les termes

u_n

u_{n+1}

se suivent.

Par exemple,

u_4

u_{4+1} = u_5

se suivent.

1.5. Représentation graphique d'une suite

Méthode—Représenter graphiquement une suite

Pour tout entier

n

, on donne :

u_n = \dfrac{n^2}{2} - 3

. Représenter dans un repère les premiers termes de la suite

(u_n)

.

Correction :

On construit un tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :

|

n

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|

u_n

| -3 | -2,5 | -1 | 1,5 | 5 | 9,5 | 15 | 21,5 | 29 |

Dans un repère du plan, on représente la suite

(u_n)

par un nuage de points de coordonnées

(n ; u_n)

1. Définition et représentation graphique

1.1. Historique

Remarque—Histoire des suites

Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre

\pi

^e

^e

siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857).

1.2. Définition d'une suite

Exemple—Introduction

On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, ...

On note

(u_n)

l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que :

u_0 = 1

: le premier terme de la suite

u_1 = 3

: le 2

^e

terme

u_2 = 5

: le 3

^e

terme

u_3 = 7

...

On a ainsi défini une suite numérique.

1.3. Suites définies en fonction de n (forme explicite)

Méthode—Calculer des termes d'une suite définie en fonction de n

Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes :

a)

u_n = 2n

v_n = 3n^2 - 1

Correction :

a) On considère :

u_n = 2n

. Les premiers termes de cette suite sont donc :

\begin{align*} u_0 &= 2 \times 0 = 0 \\ u_1 &= 2 \times 1 = 2 \\ u_2 &= 2 \times 2 = 4 \\ u_3 &= 2 \times 3 = 6 \end{align*}

b) On considère :

v_n = 3n^2 - 1

. Les premiers termes de cette suite sont donc :

\begin{align*} v_0 &= 3 \times 0^2 - 1 = -1 \\ v_1 &= 3 \times 1^2 - 1 = 2 \\ v_2 &= 3 \times 2^2 - 1 = 11 \\ v_3 &= 3 \times 3^2 - 1 = 26 \end{align*}

1.4. Suites définies par récurrence

Définition—Suite définie par récurrence

Chaque terme de la suite s'obtient à partir du terme précédent. On exprime en général

u_{n+1}

en fonction de

u_n

. En effet, les termes

u_n

u_{n+1}

se suivent.

Par exemple,

u_4

u_{4+1} = u_5

se suivent.

1.5. Représentation graphique d'une suite

Méthode—Représenter graphiquement une suite

Pour tout entier

n

, on donne :

u_n = \dfrac{n^2}{2} - 3

. Représenter dans un repère les premiers termes de la suite

(u_n)

.

Correction :

On construit un tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :

|

n

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|-----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|

u_n

| -3 | -2,5 | -1 | 1,5 | 5 | 9,5 | 15 | 21,5 | 29 |

Dans un repère du plan, on représente la suite

(u_n)

par un nuage de points de coordonnées

(n ; u_n)

Les suites

1. Définition et représentation graphique

1.1. Historique

1.2. Définition d'une suite

1.3. Suites définies en fonction de n (forme explicite)

1.4. Suites définies par récurrence

1.5. Représentation graphique d'une suite

1. Définition et représentation graphique

1.1. Historique

1.2. Définition d'une suite

1.3. Suites définies en fonction de n (forme explicite)

1.4. Suites définies par récurrence

1.5. Représentation graphique d'une suite