Lois à densité

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle de $\mathbb{R}$.

On appelle fonction de densité (ou densité) toute fonction $f$ définie, continue et positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que :
$$\int_I f(t)\,dt = 1$$
Si $X$ est une variable aléatoire continue sur $[a ; b]$, la probabilité de l'événement $\{X \in [a ; b]\}$, où $[a ; b]$ est un sous-intervalle de $I$, est :
$$P(X \in [a ; b]) = \int_a^b f(t)\,dt$$
cette probabilité est l'aire sous la courbe de $f$ sur $[a ; b]$.

Soit $X$ une variable aléatoire continue de fonction de densité $f$ sur un intervalle $[a ; b]$. Alors, pour tout $x$ de $[a ; b]$ :
$$P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$
La fonction définie sur $[a ; b]$ par $x \mapsto P(X \leq x)$ est appelée fonction de répartition de $X$.

Soit $X$ une variable aléatoire continue de fonction de densité $f$ sur un intervalle $[a ; b]$.

• L'espérance mathématique de $X$ est : $E(X) = \displaystyle\int_a^b t f(t)\,dt$
• La variance de $X$ est : $V(X) = \displaystyle\int_a^b (t - E(X))^2 f(t)\,dt$