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Nombres complexes

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Thème : algebre

Exercices & Méthodes · Bientôt

1. Introduction et forme algébrique

1.1. Définition

Définition—Ensemble

\mathbb{C}

des nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes, noté

\mathbb{C}

, est l'ensemble des nombres de la forme

z = a + ib

où

a

b

sont des nombres réels et

i

est un nombre imaginaire tel que

i^2 = -1

.

On dit que

z = a + ib

est la forme algébrique du nombre complexe

z

.

-

a

est appelé la partie réelle de

z

, notée

\text{Re}(z)

b

est appelé la partie imaginaire de

z

, notée

\text{Im}(z)

1.2. Nombres particuliers

Remarque—Cas particuliers

- Si

b = 0

, alors

z = a

est un nombre réel. On a donc

\mathbb{R} \subset \mathbb{C}

.
- Si

a = 0

, alors

z = ib

est un nombre imaginaire pur.
- Le nombre

0

est à la fois réel et imaginaire pur.

Exemple—Exemples de nombres complexes

z_1 = 3 + 2i

: partie réelle 3, partie imaginaire 2
-

z_2 = -5

: nombre réel (partie imaginaire nulle)
-

z_3 = 4i

: imaginaire pur (partie réelle nulle)
-

z_4 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i

: partie réelle

\dfrac{1}{2}

, partie imaginaire

-\dfrac{3}{4}

1.3. Égalité de deux nombres complexes

Proposition—Égalité de nombres complexes

Deux nombres complexes

z = a + ib

z' = a' + ib'

sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

z = z' \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}

Démonstration bientôt disponible

Exemple—Résolution d'équation complexe

Déterminer les réels

x

y

tels que

(2x - 3) + i(y + 1) = 5 - 2i

.

Par égalité de deux nombres complexes :

\begin{cases} 2x - 3 = 5 \\ y + 1 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 4 \\ y = -3 \end{cases}

2. Opérations sur les nombres complexes

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Conjugué d'un nombre complexe

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4. Inverse et division

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5. Équations du second degré

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1. Introduction et forme algébrique

1.1. Définition

Définition—Ensemble

\mathbb{C}

des nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes, noté

\mathbb{C}

, est l'ensemble des nombres de la forme

z = a + ib

où

a

b

sont des nombres réels et

i

est un nombre imaginaire tel que

i^2 = -1

.

On dit que

z = a + ib

est la forme algébrique du nombre complexe

z

.

-

a

est appelé la partie réelle de

z

, notée

\text{Re}(z)

b

est appelé la partie imaginaire de

z

, notée

\text{Im}(z)

1.2. Nombres particuliers

Remarque—Cas particuliers

- Si

b = 0

, alors

z = a

est un nombre réel. On a donc

\mathbb{R} \subset \mathbb{C}

.
- Si

a = 0

, alors

z = ib

est un nombre imaginaire pur.
- Le nombre

0

est à la fois réel et imaginaire pur.

Exemple—Exemples de nombres complexes

z_1 = 3 + 2i

: partie réelle 3, partie imaginaire 2
-

z_2 = -5

: nombre réel (partie imaginaire nulle)
-

z_3 = 4i

: imaginaire pur (partie réelle nulle)
-

z_4 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}i

: partie réelle

\dfrac{1}{2}

, partie imaginaire

-\dfrac{3}{4}

1.3. Égalité de deux nombres complexes

Proposition—Égalité de nombres complexes

Deux nombres complexes

z = a + ib

z' = a' + ib'

sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

z = z' \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}

Démonstration bientôt disponible

Exemple—Résolution d'équation complexe

Déterminer les réels

x

y

tels que

(2x - 3) + i(y + 1) = 5 - 2i

.

Par égalité de deux nombres complexes :

\begin{cases} 2x - 3 = 5 \\ y + 1 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 4 \\ y = -3 \end{cases}

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