The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Les nombres entiers

1.1. Écriture et rang

Encadré—Histoire des chiffres

ÉVOLUTION DES CHIFFRES DE L'INDE … À L'EUROPE

Pour écrire les nombres, on utilise

10

symboles que nous appelons « chiffres » :

1

;

2

;

3

;

4

;

5

;

6

;

7

;

8

;

9

;

0

. C'est le système décimal. Nos

10

doigts en sont certainement à l'origine.

Les chiffres que nous appelons arabes ont pour origine les Indes. Ce sont les arabes qui emprunteront le système de numération aux Indes.

Le moine français Gerbert d'Aurillac (qui est devenu le pape Sylvestre II) les amène en Europe.

Le «

0

» qui vient aussi de l'Inde est resté longtemps ignoré ; ils l'appelaient « sûnya » = vide.

Le mathématicien italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1180 ; 1250) introduit en Europe la numération de position : la valeur du chiffre varie en fonction de la place qu'il occupe dans l'écriture du nombre.

Al Kashi (1380 ; 1430), astronome à Samarkand (Asie), est à l'origine des nombres décimaux (nombres à virgule) mais c'est le mathématicien belge Simon Stevin qui se rapprochera de la notation actuelle.

C'est un progrès considérable pour effectuer des opérations par rapport à l'écriture romaine.

Le mot « virgule » vient du latin « virgula » qui désignait une petite branche.

Définition—Chiffres et nombres

Notre numération utilise

10

symboles appelés chiffres :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Exemple

1\,522

est un nombre entier. Son écriture est composée des chiffres

1

5

2

Définition—Numération de position

Dans l'écriture du nombre

1\,522

, bien que

1

soit inférieur à

5

, la valeur du chiffre

1

est supérieure à celle du chiffre

5

.

En effet :

$1$ est au rang des milliers et correspond à $1\,000$ .
$5$ est au rang des centaines et correspond à $500$ .

C'est le principe de la numération de position.

Remarque

Pour les grands nombres, on a l'habitude de séparer les classes.

Par exemple,

1252342532

est un nombre entier mal écrit. On préfère :

1\,252\,342\,532

Méthode—Reconnaître le rang d'un chiffre dans un nombre

a) Dans chaque cas, donner le rang du chiffre souligné :

4\,⟦U⟧5⟦/U⟧67

;

6\,74⟦U⟧0⟦/U⟧

;

6\,⟦U⟧4⟦/U⟧39

;

6\,⟦U⟧8⟦/U⟧76\,000

b) Dans

7\,524

, déterminer :

Le nombre de dizaines,
Le nombre de centaines.

Correction :

a)

$4\,567$ : Dizaine
$6\,740$ : Unité
$6\,439$ : Centaine
$6\,876\,000$ : Millions

$7\,524$ contient $752$ dizaines.
$7\,524$ contient $75$ centaines.

1.2. Quelques grands nombres

Encadré—Noms des grands nombres

Million : $1\,000\,000$
Milliard : $1\,000\,000\,000$
Billion : $1\,000\,000\,000\,000$
Billiard : $1$ suivi de $15$ zéros
Trillion : $1$ suivi de $18$ zéros
Quatrillion : $1$ suivi de $24$ zéros
Quintillion : $1$ suivi de $30$ zéros
Sextillion : $1$ suivi de $36$ zéros
Septillion : $1$ suivi de $42$ zéros
Octillion : $1$ suivi de $48$ zéros
Nonillion : $1$ suivi de $54$ zéros
Décillion : $1$ suivi de $60$ zéros
Googol : $1$ suivi de $100$ zéros (XXe Edward Kasner USA)
Googolplex : $1$ suivi de Googol zéros
Asankhyeya : $1$ suivi de $140$ zéros (Origine bouddhique)

1.3. Décomposition d'un nombre entier

Méthode—Décomposer un nombre entier selon ses rangs

Énoncé : Décomposer

5\,239

184\,030

selon leurs rangs.

Correction :

5\,239 = (5 \times 1\,000) + (2 \times 100) + (3 \times 10) + (9 \times 1)

184\,030 = (1 \times 100\,000) + (8 \times 10\,000) + (4 \times 1\,000) + (3 \times 10)

1. Les nombres entiers

1.1. Écriture et rang

Encadré—Histoire des chiffres

ÉVOLUTION DES CHIFFRES DE L'INDE … À L'EUROPE

Pour écrire les nombres, on utilise

10

symboles que nous appelons « chiffres » :

1

;

2

;

3

;

4

;

5

;

6

;

7

;

8

;

9

;

0

. C'est le système décimal. Nos

10

0

Définition—Chiffres et nombres

Notre numération utilise

10

symboles appelés chiffres :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Exemple

1\,522

est un nombre entier. Son écriture est composée des chiffres

1

5

2

Définition—Numération de position

Dans l'écriture du nombre

1\,522

, bien que

1

soit inférieur à

5

, la valeur du chiffre

1

est supérieure à celle du chiffre

5

.

En effet :

$1$ est au rang des milliers et correspond à $1\,000$ .
$5$ est au rang des centaines et correspond à $500$ .

C'est le principe de la numération de position.

Remarque

Pour les grands nombres, on a l'habitude de séparer les classes.

Par exemple,

1252342532

est un nombre entier mal écrit. On préfère :

1\,252\,342\,532

Méthode—Reconnaître le rang d'un chiffre dans un nombre

a) Dans chaque cas, donner le rang du chiffre souligné :

4\,⟦U⟧5⟦/U⟧67

;

6\,74⟦U⟧0⟦/U⟧

;

6\,⟦U⟧4⟦/U⟧39

;

6\,⟦U⟧8⟦/U⟧76\,000

b) Dans

7\,524

, déterminer :

Le nombre de dizaines,
Le nombre de centaines.

Correction :

a)

$4\,567$ : Dizaine
$6\,740$ : Unité
$6\,439$ : Centaine
$6\,876\,000$ : Millions

$7\,524$ contient $752$ dizaines.
$7\,524$ contient $75$ centaines.

1.2. Quelques grands nombres

Encadré—Noms des grands nombres

Million : $1\,000\,000$
Milliard : $1\,000\,000\,000$
Billion : $1\,000\,000\,000\,000$
Billiard : $1$ suivi de $15$ zéros
Trillion : $1$ suivi de $18$ zéros
Quatrillion : $1$ suivi de $24$ zéros
Quintillion : $1$ suivi de $30$ zéros
Sextillion : $1$ suivi de $36$ zéros
Septillion : $1$ suivi de $42$ zéros
Octillion : $1$ suivi de $48$ zéros
Nonillion : $1$ suivi de $54$ zéros
Décillion : $1$ suivi de $60$ zéros
Googol : $1$ suivi de $100$ zéros (XXe Edward Kasner USA)
Googolplex : $1$ suivi de Googol zéros
Asankhyeya : $1$ suivi de $140$ zéros (Origine bouddhique)

1.3. Décomposition d'un nombre entier

Méthode—Décomposer un nombre entier selon ses rangs

Énoncé : Décomposer

5\,239

184\,030

selon leurs rangs.

Correction :

5\,239 = (5 \times 1\,000) + (2 \times 100) + (3 \times 10) + (9 \times 1)

184\,030 = (1 \times 100\,000) + (8 \times 10\,000) + (4 \times 1\,000) + (3 \times 10)

Nombres entiers et décimaux

1. Les nombres entiers

1.1. Écriture et rang

1.2. Quelques grands nombres

1.3. Décomposition d'un nombre entier

1. Les nombres entiers

1.1. Écriture et rang

1.2. Quelques grands nombres

1.3. Décomposition d'un nombre entier