Soient u et v deux vecteurs de l'espace et θ l'angle entre ces deux vecteurs (θ∈[0;π]). On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u⋅v défini par : u⋅v=∥u∥×∥v∥×cosθ Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, alors u⋅v=0.
Proposition—Propriétés du produit scalaire
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k :
u⋅v=v⋅u (symétrie)
u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅w (distributivité)
(ku)⋅v=k(u⋅v)
u⋅u=∥u∥2≥0, et u⋅u=0⟺u=0
Proposition—Expressions remarquables
Pour tous vecteurs u et v : u⋅v=2∥u+v∥2−∥u∥2−∥v∥2=2∥u∥2+∥v∥2−∥u−v∥2
En particulier (identités remarquables) : ∥u+v∥2=∥u∥2+2u⋅v+∥v∥2 ∥u−v∥2=∥u∥2−2u⋅v+∥v∥2 (u+v)⋅(u−v)=∥u∥2−∥v∥2
1.2. Calcul dans un repère orthonormé
Proposition—Produit scalaire en coordonnées
Dans un repère orthonormé, si uxyz et vx′y′z′, alors : u⋅v=xx′+yy′+zz′
En particulier : ∥u∥2=x2+y2+z2, donc ∥u∥=x2+y2+z2.
2. Orthogonalité dans l'espace
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
