The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Primitive d'une fonction

1.1. Définition

Exemple—Introduction

On considère les fonctions

f

F

définies par :

f(x) = 2x + 3

F(x) = x^2 + 3x - 1

Si on dérive

F

, on constate que :

F'(x) = 2x + 3 = f(x)

.

Lorsque

F' = f

, on dit que

F

est une primitive de

f

Définition—Primitive

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

On appelle primitive de

f

, une fonction

F

, telle que :

F' = f

Remarque—Lien avec la dérivation

Dans ces conditions, dire que «

F

est une primitive de

f

» revient à dire que «

f

est la dérivée de

F

».

1.2. Vérification

Méthode—Démontrer qu'une fonction est une primitive d'une autre

Pour vérifier que

F

est une primitive de

f

:

1. Calculer

F'(x)

2. Vérifier que

F'(x) = f(x)

1.3. Propriété fondamentale

Proposition—Ensemble des primitives

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

Si

F

est une primitive de

f

alors pour tout réel

C

, la fonction

x \mapsto F(x) + C

est une primitive de

f

1.4. Primitive avec condition initiale

Méthode—Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant une condition

Pour déterminer la primitive

G

f

telle que

G(x_0) = y_0

:

1. Vérifier qu'une primitive générale

F

f

est connue
2. Écrire

G(x) = F(x) + C

avec

C \in \mathbb{R}

3. Utiliser la condition

G(x_0) = y_0

pour déterminer

C

1. Primitive d'une fonction

1.1. Définition

Exemple—Introduction

On considère les fonctions

f

F

définies par :

f(x) = 2x + 3

F(x) = x^2 + 3x - 1

Si on dérive

F

, on constate que :

F'(x) = 2x + 3 = f(x)

.

Lorsque

F' = f

, on dit que

F

est une primitive de

f

Définition—Primitive

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

On appelle primitive de

f

, une fonction

F

, telle que :

F' = f

Remarque—Lien avec la dérivation

Dans ces conditions, dire que «

F

est une primitive de

f

» revient à dire que «

f

est la dérivée de

F

».

1.2. Vérification

Méthode—Démontrer qu'une fonction est une primitive d'une autre

Pour vérifier que

F

est une primitive de

f

:

1. Calculer

F'(x)

2. Vérifier que

F'(x) = f(x)

1.3. Propriété fondamentale

Proposition—Ensemble des primitives

f

est une fonction continue sur un intervalle

I

.

Si

F

est une primitive de

f

alors pour tout réel

C

, la fonction

x \mapsto F(x) + C

est une primitive de

f

1.4. Primitive avec condition initiale

Méthode—Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant une condition

Pour déterminer la primitive

G

f

telle que

G(x_0) = y_0

:

1. Vérifier qu'une primitive générale

F

f

est connue
2. Écrire

G(x) = F(x) + C

avec

C \in \mathbb{R}

3. Utiliser la condition

G(x_0) = y_0

pour déterminer

C

Primitives

1. Primitive d'une fonction

1.1. Définition

1.2. Vérification

1.3. Propriété fondamentale

1.4. Primitive avec condition initiale

1. Primitive d'une fonction

1.1. Définition

1.2. Vérification

1.3. Propriété fondamentale

1.4. Primitive avec condition initiale