Produit Scalaire

a) Soit un triangle équilatéral $ABC$ de côté 5. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Correction :
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 5 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 25 \times 0,5 = 12,5$$

b) Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC}$.

Correction :

Le produit scalaire $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC}$ est composé de deux vecteurs qui n'ont pas la même origine. On construit alors le point $D$ tel que : $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. De cette façon, le produit scalaire à calculer est composé de deux vecteurs de même origine le point $A$.

$$\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AD} = AI \times AD \times \cos(\widehat{IAD}) = 2,5 \times 5 \times \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = 12,5 \times (-0,5) = -6,25$$