La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809-1877). Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805-1865) en 1853.
Définition—Norme d'un vecteur
Soient deux points A et B.
La norme du vecteur AB, notée ∥AB∥, est la distance AB.
Définition—Produit scalaire
Soient AB et AC deux vecteurs.
On appelle produit scalaire de AB par AC, noté AB⋅AC, le nombre réel défini par : AB⋅AC=AB×AC×cos(BAC)
Proposition—Carré scalaire
AB⋅AB=AB2=∥AB∥2=AB2
Remarque—Remarques importantes
- u⋅v se lit « u scalaire v » - Si l'un des deux vecteurs u et v est nul, alors u⋅v=0
Attention—Attention
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Écrire par exemple u⋅v=0 est une maladresse à éviter !
1.2. Calcul avec la formule du cosinus
Méthode—Calculer un produit scalaire à l'aide de la formule du cosinus
Pour calculer AB⋅AC :
1. Identifier les longueurs AB et AC 2. Déterminer l'angle BAC 3. Appliquer la formule : AB⋅AC=AB×AC×cos(BAC)
Si les vecteurs n'ont pas la même origine : construire un point pour ramener les vecteurs à une origine commune.
1.3. Propriétés algébriques
Proposition—Symétrie
u⋅v=v⋅u
2. Produit scalaire et orthogonalité
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
