Réduction algébrique

Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$. Le polynôme $X^2 - X = X(X - 1)$ annule $p$ donc $$E = \text{Ker}(p^2 - p) = \text{Ker } p \oplus \text{Ker}(p - \text{Id}_E)$$

Soit $s$ une symétrie d'un espace vectoriel $E$. Le polynôme $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ annule $s$ donc $$E = \text{Ker}(s^2 - \text{Id}_E) = \text{Ker}(s - \text{Id}_E) \oplus \text{Ker}(s + \text{Id}_E)$$

On souhaite déterminer les solutions à valeurs complexes de l'équation différentielle $(\mathcal{E}) : y''' - y = 0$. On montre aisément par récurrence que toute solution de $(\mathcal{E})$ appartient à $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$. De plus, en notant $D : y \in E \mapsto y'$, l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ est $\text{Ker}(D^3 - \text{Id}_E)$. Puisque $X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$, le lemme des noyaux permet d'affirmer que $$\text{Ker}(D^3 - \text{Id}_E) = \text{Ker}(D - \text{Id}_E) \oplus \text{Ker}(D - j\text{Id}_E) \oplus \text{Ker}(D - j^2\text{Id}_E)$$ $$= \text{vect}(x \mapsto e^x) \oplus \text{vect}(x \mapsto e^{jx}) \oplus \text{vect}(x \mapsto e^{j^2 x})$$

Les solutions de $(\mathcal{E})$ sont donc les fonctions $$x \mapsto \lambda e^x + \mu e^{jx} + \nu e^{j^2 x} \text{ où } (\lambda, \mu, \nu) \in \mathbb{C}^3$$

On souhaite déterminer les suites $u \in E = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ vérifiant $$(\mathcal{R}) : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$$

En notant $S : (u_n) \in E \mapsto (u_{n+1})$, l'ensemble des suites vérifiant $(\mathcal{D})$ est $\text{Ker}(S^3 - 2S^2 - S + 2\text{Id}_E)$. Puisque $$X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$$

le lemme des noyaux permet d'affirmer que $$\text{Ker}(S^3 - 2S^2 - S + 2\text{Id}_E) = \text{Ker}(S - \text{Id}_E) \oplus \text{Ker}(S + \text{Id}_E) \oplus \text{Ker}(S - 2\text{Id}_E)$$ $$= \text{vect}((1)_{n \in \mathbb{N}}) \oplus \text{vect}(((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}) \oplus \text{vect}((2^n)_{n \in \mathbb{N}})$$

Les suites réelles $u$ vérifiant $(\mathcal{R})$ sont donc les suites de terme général $$\lambda + \mu(-1)^n + \nu 2^n \text{ où } (\lambda, \mu, \nu) \in \mathbb{R}^3$$