Représentations paramétriques et équations cartésiennes

L'espace est muni d'un repère $(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Soit une droite $d$ passant par un point $A\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.

On a :
$$M\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in d \iff \exists t \in \mathbb{R} : \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite $d$.

Démonstration : $M \in d \iff \vec{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires $\iff \exists t \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec{u} \iff \begin{cases} x - x_0 = at \\ y - y_0 = bt \\ z - z_0 = ct \end{cases}$

Exemple : La droite passant par $A\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\5\\-3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2 + 5t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$$