Suites Arithmétiques et Suites Géométriques

a) La suite $(u_n)$ définie par : $u_n = 7 - 9n$ est-elle arithmétique ?

b) La suite $(v_n)$ définie par : $v_n = n^2 + 3$ est-elle arithmétique ?

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Correction

a) $u_{n+1} - u_n = 7 - 9(n+1) - (7 - 9n)$
$$= 7 - 9n - 9 - 7 + 9n = -9.$$

La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à $-9$, donc on passe d'un terme au suivant en ajoutant $-9$.

$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $-9$.

b) $v_{n+1} - v_n = (n+1)^2 + 3 - (n^2 + 3)$
$$= n^2 + 2n + 1 + 3 - n^2 - 3 = 2n + 1.$$

La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de $n$.

$(v_n)$ n'est pas une suite arithmétique.

a) Déterminer l'expression, en fonction de $n$, de la suite arithmétique définie par : $\begin{cases} u_0 = 7 \\ u_{n+1} = u_n - 4 \end{cases}$

b) Déterminer l'expression, en fonction de $n$, de la suite arithmétique définie par : $\begin{cases} u_1 = 5 \\ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases}$

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Correction

a) On a : $u_0 = 7$ et $u_{n+1} = u_n - 4$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant $-4$, et donc la raison $r$ est égale à $-4$ et le premier terme $u_0$ est égal à $7$.

Ainsi :
$$u_n = u_0 + nr = 7 + n \times (-4) = 7 - 4n$$

b) On a : $u_1 = 5$ et $u_{n+1} = u_n + 3$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant $3$, donc la raison $r$ est égale à $3$.

Ici, le terme $u_0$ n'est pas donné mais on peut le calculer.

Pour passer de $u_1$ à $u_0$, on retire $3$ (« marche arrière ») donc $u_0 = u_1 - 3 = 5 - 3 = 2$.

Ainsi :
$$u_n = u_0 + nr = 2 + 3n$$

Considérons la suite arithmétique $(u_n)$ tel que $u_5 = 7$ et $u_9 = 19$.

a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite $(u_n)$.

b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

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Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme $u_n = u_0 + nr$

Ainsi :
$$\begin{cases} u_5 = u_0 + 5r \\ u_9 = u_0 + 9r \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 7 = u_0 + 5r \\ 19 = u_0 + 9r \end{cases}$$

On soustrait membre à membre :
$$7 - 19 = u_0 + 5r - u_0 - 9r$$
$$-12 = -4r$$
$$r = \dfrac{-12}{-4} = 3$$

Comme $u_0 + 5r = 7$, on a :
$$u_0 + 5 \times 3 = 7$$
$$u_0 = 7 - 15 = -8$$

b) $u_n = u_0 + nr = -8 + n \times 3 = 3n - 8$