The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Cercle trigonométrique et radian

1.1. Le cercle trigonométrique

Définition—Sens trigonométrique

Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Définition—Cercle trigonométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})

et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

et de rayon

1

1.2. Le radian

Proposition—Longueur du cercle trigonométrique

La longueur du cercle trigonométrique est égale à

2\pi

.

En effet, son rayon est

1

donc

P = 2\pi R = 2\pi \times 1 = 2\pi

1.3. Correspondance degrés et radians

Proposition—Correspondances remarquables

2\pi

radians (tour complet), on fait correspondre un angle de

360°

. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :

| Angle en degré |

0°

30°

45°

60°

90°

180°

360°

|
|----------------|------|-------|-------|-------|-------|--------|--------|
| Angle en radian |

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

2\pi

1.4. Mesure d'un angle orienté

Remarque—Multiples mesures sur le cercle

Un même point sur le cercle trigonométrique peut être associé à plusieurs mesures d'angle.

Par exemple,

\dfrac{\pi}{2}

correspond à l'angle droit, soit

90°

. Mais il est possible de faire la lecture dans l'autre sens (le sens négatif ou indirect), ce qui donne

-\dfrac{3\pi}{2}

. Les mesures

\dfrac{\pi}{2}

-\dfrac{3\pi}{2}

sont donc associées à un même point sur le cercle.

De même, en effectuant un tour supplémentaire, on obtient

\dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}

1.5. Mesure principale

Définition—Mesure principale d'un angle orienté

La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle

]-\pi ; \pi]

Exemple—Mesure principale

Une mesure d'un angle est

\dfrac{7\pi}{4}

.

D'autres mesures sont :

\dfrac{7\pi}{4} - 2\pi

\dfrac{7\pi}{4} - 4\pi

\dfrac{7\pi}{4} - 6\pi

, ... soit :

-\dfrac{\pi}{4}

-\dfrac{9\pi}{4}

-\dfrac{17\pi}{4}

, ...

-\dfrac{\pi}{4}

est la mesure principale de cet angle car c'est la seule comprise dans l'intervalle

]-\pi ; \pi]

1. Cercle trigonométrique et radian

1.1. Le cercle trigonométrique

Définition—Sens trigonométrique

Sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Définition—Cercle trigonométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormé

(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})

et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre

O

et de rayon

1

1.2. Le radian

Proposition—Longueur du cercle trigonométrique

La longueur du cercle trigonométrique est égale à

2\pi

.

En effet, son rayon est

1

donc

P = 2\pi R = 2\pi \times 1 = 2\pi

1.3. Correspondance degrés et radians

Proposition—Correspondances remarquables

2\pi

radians (tour complet), on fait correspondre un angle de

360°

. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :

| Angle en degré |

0°

30°

45°

60°

90°

180°

360°

|
|----------------|------|-------|-------|-------|-------|--------|--------|
| Angle en radian |

0

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{2}

\pi

2\pi

1.4. Mesure d'un angle orienté

Remarque—Multiples mesures sur le cercle

Un même point sur le cercle trigonométrique peut être associé à plusieurs mesures d'angle.

Par exemple,

\dfrac{\pi}{2}

correspond à l'angle droit, soit

90°

. Mais il est possible de faire la lecture dans l'autre sens (le sens négatif ou indirect), ce qui donne

-\dfrac{3\pi}{2}

. Les mesures

\dfrac{\pi}{2}

-\dfrac{3\pi}{2}

sont donc associées à un même point sur le cercle.

De même, en effectuant un tour supplémentaire, on obtient

\dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}

1.5. Mesure principale

Définition—Mesure principale d'un angle orienté

La mesure principale d'un angle orienté est la mesure, qui parmi toutes les autres, se situe dans l'intervalle

]-\pi ; \pi]

Exemple—Mesure principale

Une mesure d'un angle est

\dfrac{7\pi}{4}

.

D'autres mesures sont :

\dfrac{7\pi}{4} - 2\pi

\dfrac{7\pi}{4} - 4\pi

\dfrac{7\pi}{4} - 6\pi

, ... soit :

-\dfrac{\pi}{4}

-\dfrac{9\pi}{4}

-\dfrac{17\pi}{4}

, ...

-\dfrac{\pi}{4}

est la mesure principale de cet angle car c'est la seule comprise dans l'intervalle

]-\pi ; \pi]

Trigonométrie

1. Cercle trigonométrique et radian

1.1. Le cercle trigonométrique

1.2. Le radian

1.3. Correspondance degrés et radians

1.4. Mesure d'un angle orienté

1.5. Mesure principale

1. Cercle trigonométrique et radian

1.1. Le cercle trigonométrique

1.2. Le radian

1.3. Correspondance degrés et radians

1.4. Mesure d'un angle orienté

1.5. Mesure principale