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Vecteurs, droites et plans de l'espace | The Maths Tailor

Vecteurs, droites et plans de l'espace

terminale

Thème : geometrie

Exercices & Méthodes · Bientôt

1. Vecteurs de l'espace

1.1. Notion de vecteur et combinaisons linéaires

Définition—Vecteur de l'espace

Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).

Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles qu'en géométrie plane : somme, produit par un réel, relation de Chasles, colinéarité...

Dire que

M'

est l'image de

M

par la translation de vecteur

\vec{u}

revient à dire que

\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Définition—Combinaison linéaire

Soit

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

trois vecteurs de l'espace. Tout vecteur de la forme

a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}

avec

a, b, c \in \mathbb{R}

est appelé combinaison linéaire des vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

Méthode—Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire

Dans un parallélépipède

ABCDEFGH

M

est le centre du rectangle

ABCD

. On exprime

\overrightarrow{CE}

\overrightarrow{MG}

\overrightarrow{MF}

en fonction de

\overrightarrow{AM}

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AE}

:

$\overrightarrow{CE}$ :

\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AE}

$\overrightarrow{MG}$ :

\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AE}

$\overrightarrow{MF}$ :

\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}

2. Droites et plans de l'espace

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3. Positions relatives de droites et de plans

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4. Bases et repères de l'espace

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1. Vecteurs de l'espace

1.1. Notion de vecteur et combinaisons linéaires

Définition—Vecteur de l'espace

M'

est l'image de

M

par la translation de vecteur

\vec{u}

revient à dire que

\overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Définition—Combinaison linéaire

Soit

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

trois vecteurs de l'espace. Tout vecteur de la forme

a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}

avec

a, b, c \in \mathbb{R}

est appelé combinaison linéaire des vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

Méthode—Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire

Dans un parallélépipède

ABCDEFGH

M

est le centre du rectangle

ABCD

. On exprime

\overrightarrow{CE}

\overrightarrow{MG}

\overrightarrow{MF}

en fonction de

\overrightarrow{AM}

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AE}

:

$\overrightarrow{CE}$ :

\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AE}

$\overrightarrow{MG}$ :

\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AE}

$\overrightarrow{MF}$ :

\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}

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