Droites du plan

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-b\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$.

Démonstration : Soit $A(x_0, y_0)$ un point de la droite $d$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}$ un vecteur directeur de $d$. Un point $M(x, y)$ appartient à $d$ si et seulement si $\vec{AM}\begin{pmatrix}x-x_0\y-y_0\end{pmatrix}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, soit $\det(\vec{AM}; \vec{u}) = 0$, soit $\beta(x - x_0) - \alpha(y - y_0) = 0$, ce qui donne $\beta x - \alpha y + (\alpha y_0 - \beta x_0) = 0$. Avec $a = \beta$ et $b = -\alpha$, les coordonnées de $\vec{u}$ sont $\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-b\a\end{pmatrix}$.

Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation $4x - 5y - 1 = 0$ est $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$ (car $a = 4$, $b = -5$, donc $\begin{pmatrix}-b\a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$).

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.