Espaces vectoriels normés

On appelle norme d'algèbre d'une $\mathbb{K}$-algèbre $(E, +, \cdot, \times)$ toute norme $N$ sur l'espace vectoriel $E$ vérifiant de plus
$$\forall (x, y) \in E^2, N(x \times y) \leq N(x) N(y)$$
On dit encore que $N$ est une norme sous-multiplicative.

Si on identifie $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ à $\mathbb{K}^{np}$, on étend naturellement les définitions précédentes à $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Autrement dit pour $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$
$$\|M\|_1 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p |M_{ij}|$$
$$\|M\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^p |M_{ij}|^2}$$
$$\|M\|_\infty = \max_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}} |M_{ij}|$$
Lorsque $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, on peut encore remarquer que $\| \cdot \|_2$ est la norme associée au produit scalaire $(A, B) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})^2 \mapsto \mathrm{tr}(A^\top B)$.

De plus, $\|M\|_2^2 = \mathrm{tr}(M^\top M)$ si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et $\|M\|_2^2 = \mathrm{tr}(\overline{A}^\top A)$ si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.

La borne supérieure d'une partie $\mathcal{A}$ de $\mathbb{R}$ est son plus petit majorant noté $\sup \mathcal{A}$. La propriété de la borne supérieure garantit que toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

Si $f$ est une application d'un ensemble $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, on note $\displaystyle\sup_X f = \sup_{x \in X} f(x) = \sup\{f(x), x \in X\}$, qui est bien défini si $f$ est majorée sur $X$. Autrement dit, $\displaystyle\sup_X f$ est le plus petit majorant de $f$ sur $X$.

Soient $(E, N)$ un espace vectoriel normé, $x \in E$ et $A$ une partie non vide de $E$. On appelle distance de $x$ à $A$ le réel positif
$$d(x, A) = \inf\{d(x, a), a \in A\} = \inf_{a \in A} d(x, a)$$

L'équivalence des normes est une notion essentielle. On verra en effet que bon nombre de propriétés topologiques de parties d'un espace vectoriel, de suites ou de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé restent inchangées si on change une norme en une norme équivalente, notamment :
• le caractère borné;
• la convergence/divergence et la limite des suites;
• la convergence/divergence et la somme des séries;
• les ouverts, les fermés, les voisinages, les intérieurs, les adhérences, la densité;
• la limite et la continuité des fonctions;
• la compacité;
• la connexité par arcs.