Géométrie repérée

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Correction :

La droite $d$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$.

• Comme $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$, on a : $\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$

Soit $a = 5$ et $b = 1$.

Une équation de $d$ est donc de la forme $5x + 1y + c = 0$.

• Pour déterminer $c$, il suffit de substituer les coordonnées $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ de $A$ dans l'équation :

$$5 \times 3 + 1 \times 1 + c = 0$$
$$15 + 1 + c = 0$$
$$16 + c = 0$$
$$c = -16$$

Une équation de $d$ est donc $5x + y - 16 = 0$.

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $B\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ et $C\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Correction :

● $B$ et $C$ appartiennent à $d$ donc $\overrightarrow{BC}$ est un vecteur directeur de $d$.

On a : $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 1-5 \\ -3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$. Donc $a = -6$ et $b = 4$.

Une équation cartésienne de $d$ est de la forme : $-6x + 4y + c = 0$.

● $B\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ appartient à $d$ donc : $-6 \times 5 + 4 \times 3 + c = 0$ donc $c = 18$.

Une équation cartésienne de $d$ est : $-6x + 4y + 18 = 0$ ou encore $-3x + 2y + 9 = 0$.