Commentaire : Suites géométriques — forme explicite, variation, somme des termes.

Le tableau ci-dessous donne le nombre de nouveaux cas journaliers de Covid-19 chaque samedi, du 5 septembre au 24 octobre 2020 :

\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Date & 5 sept. & 12 sept. & 19 sept. & 26 sept. & 3 oct. & 10 oct. & 17 oct. & 24 oct. \\ \hline Cas & 8\,550 & 10\,561 & 13\,498 & 14\,412 & 16\,972 & 26\,896 & 32\,427 & 45\,422 \\ \hline \end{tabular}

\end{center}

Partie 1

1) Représenter les données dans un graphique (1 cm pour 5 000 cas en ordonnée). Commenter.

2) Justifier que du 5 au 12 septembre, le nombre de nouveaux cas est multiplié par environ

1{,}235

. Ce coefficient

R

est le taux de reproduction du virus.

3) Calculer les taux de reproduction pour les autres semaines.

4) Démontrer que le taux de reproduction moyen hebdomadaire est environ

1{,}269

.

Partie 2 — On prend

R = 1{,}27

et on note

(u_n)

la suite des nouveaux cas à la

n

-ième semaine après le 5 septembre, avec

u_0 = 8\,550

.

1) a) Quelle est la nature de

(u_n)

? Donner sa raison.
b) Exprimer

u_n

en fonction de

n

.

2) Calculer

u_7

et interpréter.

3) Calculer le nombre de nouveaux cas le 31 octobre et le 21 novembre.

4) Selon ce modèle, à quelle date le nombre de nouveaux cas journaliers dépasserait-il théoriquement le million ?

5) Calculer le nombre total de cas cumulés entre le 5 septembre et le 6 novembre inclus. Indication : le nombre de malades reste constant sur les 6 jours consécutifs à un samedi.

Partie 3 — Le taux

R

est inconnu. On considère

f_R(x) = 8\,550 \times R^x

définie sur

[0 ; +\infty[

.

1) Tracer l'allure de

f_R

pour

R \in \{1{,}3\,;\, 2{,}5\,;\, 0{,}5\,;\, 0{,}8\,;\, 1\}

dans un même repère.

2) Justifier, à l'aide des propriétés des suites géométriques, que le seuil de vigilance est

R = 1

.

3) En quoi un taux

R

significativement inférieur à 1 assure une disparition de l'épidémie ?

4) Dessiner l'allure que pourrait prendre le nuage de points entre le 5 septembre et le 31 décembre, compte tenu du confinement imposé fin octobre.

Suites arithmétiques