Probabilités conditionnelles et indépendance

Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude :

| | Médicament A | Médicament B | Total |
|--|--------------|--------------|-------|
| Guéri | 383 | 291 | 674 |
| Non guéri | 72 | 54 | 126 |
| Total | 455 | 345 | 800 |

1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants :

$A$ : « Le patient a pris le médicament A. »

$G$ : « Le patient est guéri. »

Calculer : a) $P(A)$ b) $P(G)$ c) $P(G \cap A)$ d) $P(\overline{G} \cap A)$

2) a) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Calculer la probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri.

b) On choisit maintenant au hasard un patient traité par le médicament B. Calculer la probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B.

Correction :

1) a) La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à :

$$P(A) = \dfrac{455}{800} \approx 0,57 = 57\%$$

b) La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à :

$$P(G) = \dfrac{674}{800} \approx 0,84 = 84\%$$

c) La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à :

$$P(G \cap A) = \dfrac{383}{800} \approx 0,48 = 48\%$$

d) La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à :

$$P(\overline{G} \cap A) = \dfrac{72}{800} = 0,09 = 9\%$$

2) a) La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note $P_G(A)$ et est égale à :

$$P_G(A) = \dfrac{383}{674} \approx 0,57 = 57\%$$

On regarde uniquement la ligne des patients guéris.

b) La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note $P_{\overline{A}}(G)$ et est égale à :

$$P_{\overline{A}}(G) = \dfrac{291}{345} \approx 0,84 = 84\%$$

On regarde uniquement la colonne du médicament B.

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

Soit $A$ l'événement : « Le résultat est un pique ».

Soit $B$ l'événement : « Le résultat est un roi ».

Calculer $P_A(B)$, la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique.

Correction :

$$P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} \text{ et } P(A \cap B) = \dfrac{1}{32}$$

Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est :

$$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{8}$$