Séries entières

Considérons la série entière $\sum \cos(n) z^n$. Notons $R$ son rayon de convergence.

• La suite de terme général $\cos(n)$ est bornée donc $R \geq 1$.

• La suite $(\cos(n))$ ne converge pas vers 0. Donc $R \leq 1$.

Ainsi $R = 1$.

• La série entière $\sum z^n$ a pour rayon de convergence 1 et pour somme $\dfrac{1}{1-z}$.

• La série entière $\displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n!}$ a un rayon de convergence infini et a pour somme $e^z$.

Considérons la série entière $\sum a_n z^n$ avec $a_n = 2^n$ si $n$ est pair et $a_n = 3^n$ si $n$ est impair. On note $R$ son rayon de convergence.

La suite de terme général $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ n'admet pas de limite puisqu'elle prend alternativement les valeurs $\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{2}{3}$.

Néanmoins la suite de terme général $u_n = \dfrac{a_n}{9^n}$ est bornée puisque $u_{2n} = \dfrac{4^n}{9^n} \leq 1$ et $u_{2n+1} = 3$. Ainsi $R \geq \dfrac{1}{9}$. Mais si $r > \dfrac{1}{9}$, la suite de terme général $v_n = a_n r^n$ n'est pas bornée puisque la suite extraite de terme général $v_{2n+1} = 3 \cdot (9r)^n$ diverge vers $+\infty$. Ainsi le rayon de convergence vaut $\dfrac{1}{9}$.

Considérons par exemple la série entière $\sum 2^n z^{n^2}$. C'est bien une série entière dans le sens où elle est de même nature et de même somme que la série $\sum a_n z^n$ avec $a_n = 2^{\sqrt{n}}$ si $n$ est un carré d'entier et $a_n = 0$ sinon. On ne peut pas calculer le rayon de convergence en étudiant la limite de la suite $(a_{n+1}/a_n)$ puisque $(a_n)$ s'annule une infinité de fois. On peut néanmoins appliquer la règle de d'Alembert directement.

$$\dfrac{|2^{n+1} z^{(n+1)^2}|}{|2^n z^{n^2}|} = 2|z|^{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \begin{cases} 0 & \text{si } 0 < |z| < 1 \\\\ +\infty & \text{si } |z| > 1 \end{cases}$$

Ainsi le rayon de convergence de cette série entière vaut 1.

On remarque notamment que $\dfrac{2^{n+1}}{2^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2$ mais le rayon de convergence ne vaut pas $\dfrac{1}{2}$.

On pose $a_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$. On souhaite déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$.

Il est clair que $a_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} e$ (somme partielle d'une série exponentielle). On en déduit que $\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ vaut 1 par la règle de d'Alembert.

De plus, les rayons de convergence des séries entières $\displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n!}$ et $\sum z^n$ sont respectivement $+\infty$ et 1. On en déduit par produit de Cauchy que

$$\forall z \in D(0, 1), \quad \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} z^n\right) = \dfrac{e^z}{1-z}$$