Suites et séries de fonctions

La réciproque est fausse.

Si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille infinie de parties de $A$ et si $(f_n)$ converge uniformément sur chacun des $A_i$, alors $(f_n)$ ne converge pas forcément uniformément sur $\bigcup_{i\in I} A_i$.
C'est néanmoins vrai lorsque la famille $(A_i)_{i\in I}$ est finie.

L'hypothèse de convergence uniforme est essentielle. Considérons par exemple les fonctions $f_n : x \in [0, 1[ \mapsto x^n$. La suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $[0, 1[$ vers la fonction nulle. De plus, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_1 f_n = 1$ mais la limite de la fonction nulle en 1 est 0 et non 1.
On en déduit en particulier que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0, 1[$.

L'hypothèse de convergence uniforme est à nouveau essentielle. Considérons les fonctions $f_n : x \in [0, 1] \mapsto x^n$. Les fonctions $f_n$ sont bien continues sur $[0, 1]$. Cependant, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $x \in [0, 1] \mapsto \delta_{x,1}$ qui est discontinue en 1.
On en déduit en particulier que la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément sur $[0, 1]$.

Si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction continue, la convergence n'est pas nécessairement uniforme.
On peut par exemple considérer l'exemple suivant dû à Cantor : la suite de fonctions de terme général $f_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{2nx}{1+n^2x^2}$ converge simplement vers la fonction nulle (traiter à part le cas $x=0$) qui est bien continue. Pourtant, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(1/n) = 1$ donc la convergence ne peut être uniforme.

A nouveau, la condition de convergence uniforme n'est pas décorative. Considérons $f_n : x \in [0, \pi/2] \mapsto (n+1) \cos^n(x) \sin(x)$. La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0, \pi/2]$ (traiter à part le cas $x=0$) mais pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\int_0^{\pi/2} f_n(t) \,\mathrm{d}t = 1$.