Si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction continue, la convergence n'est pas nécessairement uniforme.
On peut par exemple considérer l'exemple suivant dû à Cantor : la suite de fonctions de terme général
fn:x∈R↦1+n2x22nx converge simplement vers la fonction nulle (traiter à part le cas
x=0) qui est bien continue. Pourtant, pour tout
n∈N∗,
fn(1/n)=1 donc la convergence ne peut être uniforme.