The Maths Tailor

1Topologie d'un espace vectoriel normé

1. Topologie d'un espace vectoriel normé

1.1. Ouverts et fermés

Remarque

Toutes les propriétés des parties vues dans cette section (ouvert, fermé, voisinage, intérieur, adhérence, densité, frontière) restent inchangées si on remplace la norme de l'espace vectoriel normé considéré par une norme équivalente.

Définition —Boules ouvertes, boules fermées, sphère

Soient

(E, \| \cdot \|)

un espace vectoriel normé,

a \in E

et

r \in \mathbb{R}_+^*

.

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $B(a, r) = \{x \in E, \|x - a\| < r\}$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $\bar{B}(a, r) = \{x \in E, \|x - a\| \leq r\}$
On appelle sphère de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble $S(a, r) = \{x \in E, \|x - a\| = r\}$

Exemple

Si on munit

\mathbb{R}

de la valeur absolue,

B(a, r) = ]a - r, a + r[

\bar{B}(a, r) = [a - r, a + r]

S(a, r) = \{a - r, a + r\}

Définition —Ouvert et fermé

Soient

E

un espace vectoriel normé et

A

une partie de

E

.

On dit que $A$ est une partie ouverte ou un ouvert de $E$ si pour tout $a \in A$ , il existe $\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*$ telle que $B(a, \varepsilon) \subset A$ .
On dit que $A$ est une partie fermée ou un fermé de $E$ si $E \setminus A$ est un ouvert de $E$ .

Remarque

Par définition,

A

est un fermé si et seulement si

E \setminus A

est un ouvert. Mais on en déduit sans peine également que

A

est un ouvert si et seulement si

E \setminus A

est un fermé.

Proposition —Boules ouvertes et fermées

Une boule ouverte est un ouvert. Une boule fermée est un fermé.

Démonstration bientôt disponible

Exemple —Intervalles de

\mathbb{R}

Les intervalles ouverts de

\mathbb{R}

(i.e. de la forme

]a, b[

) sont des ouverts (ce sont des boules ouvertes), de même que les intervalles de la forme

]a, +\infty[

,

]-\infty, a[

et

]-\infty, +\infty[

.

Les intervalles fermés de

\mathbb{R}

(i.e. de la forme

[a, b]

) sont des fermés (ce sont des boules fermées), de même que les intervalles de la forme

[a, +\infty[

,

]-\infty, a]

et

]-\infty, +\infty[

.

Exemple

Un singleton est fermé.

Attention

L'erreur classique consiste à penser que fermé est le contraire d'ouvert.

Une partie peut être à la fois un ouvert et un fermé : c'est le cas de l'ensemble vide et de l'espace total (ce sont d'ailleurs les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé).

Une partie peut n'être ni un ouvert ni un fermé. Par exemple, l'intervalle

[0, 1[

n'est ni un ouvert ni un fermé de

\mathbb{R}

.

Application

Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées d'un espace vectoriel normé

E

sont

\emptyset

et

E

.

Correction bientôt disponible

Proposition —Réunion et intersection d'ouverts ou de fermés

Une réunion quelconque ou une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Une intersection quelconque ou une réunion finie de fermés est un fermé.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Comme tout singleton est fermé, toute partie finie d'un espace vectoriel normé est fermée comme réunion finie de singletons.

Attention

Une intersection infinie d'ouverts peut ne pas être un ouvert. Par exemple,

\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} \left]-\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}\right[ = \{0\}

De même, une réunion infinie de fermés peut ne pas être un fermé. Par exemple,

\bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} \left[\dfrac{1}{n}, 1\right] = ]0, 1]

Proposition

Une sphère est un fermé.

Démonstration bientôt disponible

Proposition —Caractérisation séquentielle des fermés

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé. Alors

A

est un fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments de

A

admet sa limite dans

A

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

On considère

E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})

que l'on munit de la norme de la convergence uniforme

\| \cdot \|_\infty

. On pose

F = \{f \in E, f(0) = 0\}

et on souhaite montrer que

F

est fermé. Soit

(f_n)

une suite d'éléments de

F

convergeant vers

f \in E

. Puisque l'on a muni

E

de la norme

\| \cdot \|_\infty

,

(f_n)

converge uniformément vers

f

. A fortiori,

(f_n)

converge simplement vers

f

. En particulier,

f_n(0) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(0)

. Or

f_n(0) = 0

pour tout

n \in \mathbb{N}

donc

f(0) = 0

et

f \in F

. On en déduit que

F

est fermé par caractérisation séquentielle.

Application —Matrices diagonalisables

L'ensemble des matrices diagonalisables de

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

(

n \geq 2

) est-il fermé ? ouvert ?

Correction bientôt disponible

Définition —Voisinage

Soit

a

un élément d'un espace vectoriel normé

E

. On appelle voisinage de

a

toute partie de

E

contenant un ouvert de

E

comprenant

a

.

Proposition

Soit

a

un élément d'un espace vectoriel normé

E

. Une partie

V

de

E

est un voisinage de

a

si et seulement si il existe

\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*

tel que

B(a, \varepsilon) \subset V

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.

Remarque

Les notions de limite ou de valeur d'adhérence peuvent se traduire en terme de voisinage. Notons

\mathcal{V}(\ell)

l'ensemble des voisinages d'un point

\ell

de

E

.

$(u_n)$ converge vers $\ell \in E$ si et seulement si $\forall V \in \mathcal{V}(\ell), \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n \in V$
$\ell \in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_n)$ si et seulement si $\forall V \in \mathcal{V}(\ell), \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N, u_n \in V$

Proposition —Produit d'ouverts et de fermés

Soient

E_1, \ldots, E_n

des espaces vectoriels normés. On munit

\displaystyle\prod_{i=1}^{n} E_i

d'une norme produit.

Si pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , $U_i$ est un ouvert de $E_i$ , alors $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} U_i$ est un ouvert de $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} E_i$ .
Si pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , $F_i$ est un fermé de $E_i$ , alors $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} F_i$ est un fermé de $\displaystyle\prod_{i=1}^{n} E_i$ .

Démonstration bientôt disponible

1.2. Intérieur et adhérence

Définition —Intérieur d'une partie

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. On dit que

a \in E

est intérieur à

A

si

A

est un voisinage de

a

ou, de manière équivalente si,

\exists \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, B(a, \varepsilon) \subset A

L'ensemble des points intérieurs à

A

s'appelle l'intérieur de

A

et se note

\mathring{A}

.

Exemple

Pour

a \in E

et

\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*

, l'intérieur de la boule fermée

\bar{B}(a, \varepsilon)

est la boule ouverte

B(a, \varepsilon)

.

Exemple

L'intérieur d'un intervalle non vide est l'intervalle ouvert de mêmes extrémités.

Proposition

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Alors

\mathring{A}

est le plus grand ouvert (pour l'inclusion) inclus dans

A

, autrement dit

\mathring{A} = \bigcup_{\substack{U \text{ ouvert} \\ U \subset A}} U

En particulier,

A

est un ouvert si et seulement si

\mathring{A} = A

.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soient

A

et

B

des parties d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

$\mathring{\mathring{A}} = \mathring{A}$
$A \subset B \implies \mathring{A} \subset \mathring{B}$
$\mathring{A \cap B} = \mathring{A} \cap \mathring{B}$
$\mathring{A} \cup \mathring{B} \subset \mathring{A \cup B}$

Dans le dernier cas, on donnera un exemple d'inclusion stricte.

Correction bientôt disponible

Définition —Adhérence d'une partie

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. On dit que

a \in E

est adhérent à

A

si l'intersection de tout voisinage de

a

avec

A

est non vide ou, de manière équivalente, si

\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, B(a, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset

L'ensemble des points adhérents à

A

s'appelle l'adhérence de

A

et se note

\overline{A}

.

Exemple

Pour

a \in E

et

\varepsilon \in \mathbb{R}_+^*

, l'adhérence de la boule ouverte

B(a, \varepsilon)

est la boule fermée

\bar{B}(a, \varepsilon)

.

Exemple

L'adhérence d'un intervalle borné non vide est l'intervalle fermé de mêmes extrémités.

Remarque

Si

A

est une partie de

\mathbb{R}

, on dira que

+\infty

est adhérent à

A

si

A

est non majorée et que

-\infty

est adhérent à

A

si

A

est non minorée.

Application

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

\overline{E \setminus \mathring{A}} = E \setminus \mathring{A}

et

\mathring{E \setminus A} = E \setminus \overline{A}

.

Correction bientôt disponible

Proposition

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Alors

\overline{A}

est le plus petit fermé (pour l'inclusion) contenant

A

, autrement dit

\overline{A} = \bigcap_{\substack{F \text{ fermé} \\ A \subset F}} F

En particulier,

A

est un fermé si et seulement si

\overline{A} = A

.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soient

A

et

B

des parties d'un espace vectoriel normé

E

. Montrer que

$\overline{\overline{A}} = \overline{A}$
$A \subset B \implies \overline{A} \subset \overline{B}$
$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
$\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$

Dans le dernier cas, on donnera un exemple d'inclusion stricte.

Correction bientôt disponible

Proposition —Caractérisation séquentielle de l'adhérence

Soient

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

et

a \in E

. Alors

a \in \overline{A}

si et seulement si il existe

(a_n) \in A^{\mathbb{N}}

telle que

\lim_{n \to +\infty} a_n = a

.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Ceci signifie que

\overline{A}

est l'ensemble des limites des suites convergentes à valeurs dans

A

.

Définition —Frontière

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. On appelle frontière de

A

l'ensemble

\mathrm{Fr}(A) = \overline{A} \setminus \mathring{A}

.

Exemple

La frontière de la boule

B(a, \varepsilon)

est la sphère

S(a, \varepsilon)

.

Proposition

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Alors

\mathrm{Fr}(A)

est un fermé.

Démonstration bientôt disponible

Définition —Densité

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. On dit que

A

est dense si

\overline{A} = E

ou, de manière équivalente, si

\forall x \in E, \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, B(x, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset

Proposition —Caractérisation séquentielle de la densité

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Alors

A

est dense si et seulement si pour tout

x \in E

, il existe une suite à valeurs dans

A

de limite

x

.

Démonstration bientôt disponible

Exemple —Densité de

\mathbb{Q}

dans

\mathbb{R}

\mathbb{Q}

est dense dans

\mathbb{R}

. En effet, pour tout

x \in \mathbb{R}

, la suite de terme général

\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}

est à valeurs dans

\mathbb{Q}

et de limite

x

.

Exemple —Densité de

\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})

dans

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})

est dense dans

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

. Soit

M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})

et posons

M_p = M + \dfrac{1}{p} I_n

pour

p \in \mathbb{N}^*

. On a clairement

\lim_{n \to +\infty} M_p = M

.

De plus, la suite

(M_p)

est injective et

M

ne possède qu'un nombre fini de valeurs propres. Par conséquent, la suite

(M_p)

est à valeurs dans

\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})

à partir d'un certain rang.

Théorème —Sous-groupes de

(\mathbb{R}, +)

Les sous-groupes de

(\mathbb{R}, +)

sont soit monogènes (i.e. de la forme

a\mathbb{Z}

avec

a \in \mathbb{R}

) soit denses.

Démonstration bientôt disponible

1.3. Topologie relative à une partie

Définition —Ouvert et fermé relatifs

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

.

On appelle ouvert relatif à $A$ toute partie de la forme $A \cap U$ où $U$ est un ouvert de $E$ .
On appelle fermé relatif à $A$ toute partie de la forme $A \cap F$ où $F$ est un fermé de $E$ .

Exemple

[0, 1[

est un ouvert relatif à

\mathbb{R}_+

car

[0, 1[ = ]-1, 1[ \cap \mathbb{R}_+

et

]-1, 1[

est un ouvert de

\mathbb{R}

.

]0, 1]

est un fermé relatif à

\mathbb{R}_+^*

car

]0, 1] = [0, 1] \cap \mathbb{R}_+^*

et

[0, 1]

est un fermé de

\mathbb{R}

.

Remarque

On montre aisément qu'une partie

F

de

A

est un fermé relatif à

A

si et seulement si

A \setminus F

est un ouvert relatif à

A

.

De même, une partie

U

de

A

est un ouvert relatif à

A

si et seulement si

A \setminus U

est un fermé relatif à

A

.

Remarque

Une partie

U

de

A

est un ouvert relatif à

A

si et seulement si

\forall x \in U, \exists \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*, B(x, \varepsilon) \cap A \subset U

Proposition —Caractérisation séquentielle

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Une partie

F

de

A

est un fermé relatif à

A

si et seulement si toute suite d'éléments de

F

convergeant dans

A

a sa limite dans

F

.

Démonstration bientôt disponible

Définition —Voisinage relatif

Soient

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

et

a \in A

. On appelle voisinage relatif de

a

à

A

toute partie de la forme

A \cap V

où

V

est un voisinage de

a

.

Définition —Densité relative

Soit

A

une partie d'un espace vectoriel normé

E

. Une partie

X

de

A

est dense dans $A$ si

A \subset \overline{X}

.

Application

Sachant que les sous-groupes de

(\mathbb{R}, +)

sont monogènes ou denses, montrer que

\{\cos(n), n \in \mathbb{N}\}

est dense dans

[-1, 1]

.

Correction bientôt disponible

2Limite d'une application

3Continuité

4Compacité

5Connexité par arcs

6Suites et séries de fonctions