Variables Aléatoires

Exercice :
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
- Si cette carte est un cœur, on gagne 5 €.
- Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €.
- Dans les autres cas, on perd 1 €.

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe le gain du jeu.
Calculer : $P(X = 5)$, $P(X = -1)$ et $P(X \leq 2)$.

Correction :

$\bullet$ $P(X = 5)$ est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un cœur. Soit :
$$P(X = 5) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$$

$\bullet$ $P(X = -1)$ est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un cœur, ni un carreau. Soit :
$$P(X = -1) = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}$$

$\bullet$ $P(X \leq 2)$ est la probabilité de gagner 2 € ou moins. Soit :
$$P(X \leq 2) = P(X = 2) + P(X = -1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$$

Exercice :
On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues.
Soit $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.
Établir la loi de probabilité de $X$.

Correction :
La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Par exemple, si on obtient la combinaison (2 ; 5), la plus grande valeur est 5 et on a : $X = 5$.

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1 ; 1).
$$P(X = 1) = \dfrac{1}{36}$$

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1 ; 2), (2 ; 1) ou (2 ; 2).
$$P(X = 2) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$$

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) ou (3 ; 3).
$$P(X = 3) = \dfrac{5}{36}$$

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1 ; 4), (4 ; 1) (2 ; 4), (4 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3) ou (4 ; 4).
$$P(X = 4) = \dfrac{7}{36}$$

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient les combinaisons : (1 ; 5), (5 ; 1) (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) ou (5 ; 5).
$$P(X = 5) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$$

$\bullet$ La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient les combinaisons : (1 ; 6), (6 ; 1) (2 ; 6), (6 ; 2), (3 ; 6), (6 ; 3), (4 ; 6), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) ou (6 ; 6).
$$P(X = 6) = \dfrac{11}{36}$$

On peut résumer les résultats dans le tableau de la loi de probabilité de $X$ :

| $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{36}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{5}{36}$ | $\dfrac{7}{36}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{11}{36}$ |