Variables aléatoires

Soit l'expérience aléatoire : « On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. »

L'ensemble de toutes les issues possibles $E = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ s'appelle l'univers des possibles.

On considère le jeu suivant :
- Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €
- Sinon, on perd 1 €

On peut définir ainsi une variable aléatoire $X$ sur $E = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$ qui donne le gain et qui peut prendre les valeurs 2 ou -1.

- Pour les issues 5 et 6, on a : $X = 2$
- Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : $X = -1$

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
- Si cette carte est un cœur, on gagne 5 €
- Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €
- Dans les autres cas, on perd 1 €

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe le gain du jeu. Calculer : $P(X = 5)$, $P(X = -1)$ et $P(X \leq 2)$.

Correction :

● $P(X = 5)$ est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un cœur. Soit :
$$P(X = 5) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}$$

● $P(X = -1)$ est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un cœur, ni un carreau. Soit :
$$P(X = -1) = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}$$

● $P(X \leq 2)$ est la probabilité de gagner 2 € ou moins. Soit :
$$P(X \leq 2) = P(X = 2) + P(X = -1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$$

On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs. Établir la loi de probabilité de $X$.

Correction :

La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Par exemple, si on obtient la combinaison $(2 ; 5)$, la plus grande valeur est 5 et on a : $X = 5$.

● La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : $(1 ; 1)$.
$$P(X = 1) = \dfrac{1}{36}$$

● La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : $(1 ; 2)$, $(2 ; 1)$ ou $(2 ; 2)$.
$$P(X = 2) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}$$

● La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : $(1 ; 3)$, $(3 ; 1)$, $(2 ; 3)$, $(3 ; 2)$ ou $(3 ; 3)$.
$$P(X = 3) = \dfrac{5}{36}$$

● La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient 7 combinaisons.
$$P(X = 4) = \dfrac{7}{36}$$

● La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient 9 combinaisons.
$$P(X = 5) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}$$

● La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient 11 combinaisons.
$$P(X = 6) = \dfrac{11}{36}$$

Loi de probabilité de $X$ :

| $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------|---|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $\dfrac{1}{36}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{5}{36}$ | $\dfrac{7}{36}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{11}{36}$ |

Vérification :
$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{5}{36} + \dfrac{7}{36} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{11}{36} = 1$$