Soient (Ai,+i,×i)1≤i≤n une famille finie d'anneaux. Alors on peut munir i=1∏nAi d'une structure d'anneaux en posant : ∀(a,b)∈(i=1∏nAi)2,a+b=(ai+ibi)1≤i≤n ∀(a,b)∈(i=1∏nAi)2,a×b=(ai×ibi)1≤i≤n On a alors 0A=(0Ai)1≤i≤n et 1A=(1Ai)1≤i≤n.
Démonstration bientôt disponible
1.2. Idéaux d'un anneau commutatif
Définition—Idéal d'un anneau commutatif
Soit (A,+,×) un anneau commutatif. On dit qu'une partie I de A est un idéal de A si
[(i)] I est un sous-groupe de (A,+);
[(ii)] I est absorbant : pour tout (a,x)∈A×I, a×x∈I.
1.3. Divisibilité
Définition—Divisibilité
Soient (A,+,×) un anneau commutatif et (a,b)∈A2. On dit que adiviseb ou que b est un multiple de a s'il existe c∈A tel que b=ca.
2. Anneaux usuels
Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.
Un idéal n'est pas forcément un sous-anneau. Par exemple, 2Z est un idéal de Z mais n'est pas un sous-anneau de Z.
Un sous-anneau n'est pas forcément un idéal. Par exemple, R est un sous-anneau de C mais n'est pas un idéal de C.
En fait, la seule partie d'un anneau qui est à la fois un sous-anneau et un idéal est l'anneau lui-même.
Proposition
Soit (A,+,×) un anneau commutatif. Une partie I de A est un idéal de A si et seulement si
[(i)] 0A∈I;
[(ii)] ∀(x,y)∈I2,x+y∈I;
[(iii)] ∀(a,x)∈A×I,a×x∈I.
Démonstration bientôt disponible
Application
Montrer que si I et J sont des idéaux d'un anneau commutatif A, alors I∩J et I+J sont également des idéaux de A.
Correction bientôt disponible
Définition—Idéal engendré par une partie
Soit (A,+,×) un anneau commutatif. On appelle idéal engendré par une partie X de A le plus petit idéal contenant X.
Proposition
Soient (A,+,×) un anneau commutatif et X une partie de A. L'idéal engendré par X est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de X, c'est-à-dire d'éléments de la forme x∈X∑axx où (ax)x∈X est une famille presque nulle d'éléments de A.
Démonstration bientôt disponible
Remarque
En particulier, l'idéal engendré par un unique élément x∈A est xA.
Remarque
On dit qu'un idéal I d'un anneau commutatif A est principal s'il existe x∈A tel que I=xA.
On dit qu'un anneau commutatif A est principal si tous ses idéaux sont principaux.
Proposition
Soit f:A→B un morphisme d'anneaux commutatifs. Alors kerf est un idéal de A.
Démonstration bientôt disponible
Proposition
La relation de divisibilité est réflexive et transitive.
Démonstration bientôt disponible
Application
Soient a et b deux éléments d'un anneau commutatif intègre A. Montrer que si a divise b et b divise a, alors il existe u∈A× (groupe des éléments inversibles de A) tel que b=au.
Correction bientôt disponible
Proposition—Divisibilité et idéaux
Soient (A,+,×) un anneau commutatif et (a,b)∈A2. Alors a divise b si et seulement si bA⊂aA.
Démonstration bientôt disponible
Encadré—Idéaux et éléments premiers entre eux
Soit (A,+,×) un anneau commutatif.
On dit que deux idéaux I et J de A sont premiers entre eux si I+J=A.
On dit que deux éléments a et b de A sont premiers entre eux si aA+bA=A, ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de a et b sont les inversibles de A (c'est une version générale du théorème de Bézout).
On peut étendre ces notions à plus de deux idéaux ou plus de deux éléments.
On dit que des idéaux I1,…,In de A sont premiers entre eux dans leur ensemble si i=1∑nIi=A.
On dit que des éléments a1,…,an de A sont premiers entre eux dans leur ensemble si i=1∑naiA=A, ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de a1,…,an sont les inversibles de A (c'est à nouveau une version générale du théorème de Bézout).
Encadré—Idéaux et éléments premiers
Soit (A,+,×) un anneau commutatif.
On dit qu'un idéal I de A est premier si I=A et ∀(a,b)∈A2,ab∈I⟹(a∈I ou b∈I).
Un élément a de A est dit premier si l'idéal aA est premier et non nul.
