THE MATHS TAILOR

Anneaux et arithmétique | The Maths Tailor

Anneaux et arithmétique

Cours complet →

Cours— 3 sections

1Compléments sur les anneaux

1. Compléments sur les anneaux

1.1. Produit d'anneaux

Proposition —Produit d'anneaux

Soient

(A_i, +_i, \times_i)_{1 \leq i \leq n}

une famille finie d'anneaux. Alors on peut munir

\displaystyle\prod_{i=1}^{n} A_i

d'une structure d'anneaux en posant :

\forall (a, b) \in \left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)^2, \quad a + b = (a_i +_i b_i)_{1 \leq i \leq n}

\forall (a, b) \in \left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)^2, \quad a \times b = (a_i \times_i b_i)_{1 \leq i \leq n}

On a alors

0_A = (0_{A_i})_{1 \leq i \leq n}

1_A = (1_{A_i})_{1 \leq i \leq n}

Démonstration bientôt disponible

1.2. Idéaux d'un anneau commutatif

Définition —Idéal d'un anneau commutatif

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. On dit qu'une partie

I

A

est un idéal de

A

[(i)] $I$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
[(ii)] $I$ est absorbant : pour tout $(a, x) \in A \times I$ , $a \times x \in I$ .

Exemple

\{0_A\}

A

sont des idéaux de

A

Remarque

1_A \in I

, alors

I = A

Attention

Un idéal n'est pas forcément un sous-anneau. Par exemple,

2\mathbb{Z}

est un idéal de

\mathbb{Z}

mais n'est pas un sous-anneau de

\mathbb{Z}

.

Un sous-anneau n'est pas forcément un idéal. Par exemple,

\mathbb{R}

est un sous-anneau de

\mathbb{C}

mais n'est pas un idéal de

\mathbb{C}

.

En fait, la seule partie d'un anneau qui est à la fois un sous-anneau et un idéal est l'anneau lui-même.

Proposition

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. Une partie

I

A

est un idéal de

A

si et seulement si

[(i)] $0_A \in I$ ;
[(ii)] $\forall (x, y) \in I^2, \, x + y \in I$ ;
[(iii)] $\forall (a, x) \in A \times I, \, a \times x \in I$ .

Démonstration bientôt disponible

Application

Montrer que si

I

J

sont des idéaux d'un anneau commutatif

A

, alors

I \cap J

I + J

sont également des idéaux de

A

Correction bientôt disponible

Définition —Idéal engendré par une partie

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif. On appelle idéal engendré par une partie $X$ de

A

le plus petit idéal contenant

X

Proposition

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

X

une partie de

A

. L'idéal engendré par

X

est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de

X

, c'est-à-dire d'éléments de la forme

\displaystyle\sum_{x \in X} a_x x

où

(a_x)_{x \in X}

est une famille presque nulle d'éléments de

A

Démonstration bientôt disponible

Remarque

En particulier, l'idéal engendré par un unique élément

x \in A

est

xA

Remarque

On dit qu'un idéal

I

d'un anneau commutatif

A

est principal s'il existe

x \in A

tel que

I = xA

.

On dit qu'un anneau commutatif

A

est principal si tous ses idéaux sont principaux.

Proposition

Soit

f : A \to B

un morphisme d'anneaux commutatifs. Alors

\ker f

est un idéal de

A

Démonstration bientôt disponible

1.3. Divisibilité

Définition —Divisibilité

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

(a, b) \in A^2

. On dit que

a

divise

b

ou que

b

est un multiple de

a

s'il existe

c \in A

tel que

b = ca

Proposition

La relation de divisibilité est réflexive et transitive.

Démonstration bientôt disponible

Application

Soient

a

b

deux éléments d'un anneau commutatif intègre

A

. Montrer que si

a

divise

b

b

divise

a

, alors il existe

u \in A^\times

(groupe des éléments inversibles de

A

) tel que

b = au

Correction bientôt disponible

Proposition —Divisibilité et idéaux

Soient

(A, +, \times)

un anneau commutatif et

(a, b) \in A^2

. Alors

a

divise

b

si et seulement si

bA \subset aA

Démonstration bientôt disponible

Encadré —Idéaux et éléments premiers entre eux

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.

On dit que deux idéaux $I$ et $J$ de $A$ sont premiers entre eux si $I + J = A$ .
On dit que deux éléments $a$ et $b$ de $A$ sont premiers entre eux si $aA + bA = A$ , ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont les inversibles de $A$ (c'est une version générale du théorème de Bézout).

On peut étendre ces notions à plus de deux idéaux ou plus de deux éléments.

On dit que des idéaux $I_1, \ldots, I_n$ de $A$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} I_i = A$ .
On dit que des éléments $a_1, \ldots, a_n$ de $A$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i A = A$ , ce qui équivaut à dire que les diviseurs communs de $a_1, \ldots, a_n$ sont les inversibles de $A$ (c'est à nouveau une version générale du théorème de Bézout).

Encadré —Idéaux et éléments premiers

Soit

(A, +, \times)

un anneau commutatif.

On dit qu'un idéal $I$ de $A$ est premier si $I \neq A$ et $\forall (a, b) \in A^2, \, ab \in I \implies (a \in I \text{ ou } b \in I)$ .
Un élément $a$ de $A$ est dit premier si l'idéal $aA$ est premier et non nul.