The Maths Tailor

THE MATHS TAILOR

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

Définition—Dérivée selon un vecteur

Soient

f : \mathcal{U} \to F

a \in \mathcal{U}

v \in E

. On dit que

f

est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$ si l'application

\varphi_{a,v} : t \mapsto f(a + tv)

est dérivable en

0

. Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ le vecteur

\varphi'_{a,v}(0)

, que l'on note

D_v f(a)

Remarque

Si on note

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

F

(i.e.

f_i = \mathbf{f}_i^* \circ f

), alors

f

est dérivable en

a

selon le vecteur

v

si et seulement si les

f_i

le sont. De plus,

D_v f(a) = \sum_{i=1}^{n} D_v f_i(a) \mathbf{f}_i

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

est dérivable en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

selon tout vecteur

(u, v) \in \mathbb{R}^2

D_{(u,v)} f(a, b) = 2(au + bv, av + bu)

Définition—Dérivées partielles dans une base

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

f : \mathcal{U} \to F

a \in \mathcal{U}

. On appelle dérivées partielles de

f

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

les applications

D_{\mathbf{e}_j} f

si elles sont définies. On les note

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

\partial_j f

Remarque

E = \mathbb{R}^p

et qu'on ne précise pas la base dans laquelle on considère les dérivées partielles, c'est qu'on considère implicitement la base canonique de

\mathbb{R}^p

Remarque

Si on note

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

F

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

si et seulement si c'est également le cas pour les

f_i

. De plus,

\forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket, \quad \partial_j f(a) = \sum_{i=1}^{n} \partial_j f_i(a) \mathbf{f}_i

Remarque

E = \mathbb{R}^2

, les variables d'une application

f : \mathbb{R}^2 \to F

sont notées plus volontiers

x

y

que

x_1

x_2

. Les dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

seront alors notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

\dfrac{\partial f}{\partial y}

plutôt que

\partial_1 f

\partial_2 f

. De même, si

E = \mathbb{R}^3

, les dérivées partielles dans la base canonique seront plutôt notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

\dfrac{\partial f}{\partial y}

\dfrac{\partial f}{\partial z}

Méthode—Calculer des dérivées partielles

Lorsque

E = \mathbb{R}^p

F = \mathbb{R}^n

, il est très aisé de calculer des dérivées partielles dans la base canonique. Il suffit de dériver chaque composante de la fonction par rapport à une variable les autres étant fixées.
Autrement dit,

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

est la dérivée de l'application

x_j \mapsto f(x_1, \ldots, x_n)

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

admet des dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 2(a, b) \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 2(b, a)

Exemple

On pose

\mathcal{U} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, \, x + y^2 > 0\}

. L'application

f : (x, y, z) \in \mathcal{U} \mapsto (\ln(x + y^2), e^{xz})

admet des dérivées partielles sur

\mathcal{U}

\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = \left(\frac{1}{x + y^2}, ze^{xz}\right)

\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = \left(\frac{2y}{x + y^2}, 0\right)

\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = (0, xe^{xz})

Exemple

Les applications

\pi_i : (x_1, \ldots, x_p) \in \mathbb{R}^p \mapsto x_i

admettent des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^p

\frac{\partial \pi_i}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_p) = \delta_{i,j}

Attention

Une fonction peut admettre des dérivées partielles sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

Par opérations, $f$ admet clairement des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . De plus, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0, 0)$ puisque $f(t, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ . Ainsi $(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} (0, 0)$ mais $f(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} \dfrac{1}{2} \neq f(0, 0)$ .

Attention

Une fonction peut même admettre des dérivées directionnelles selon tout vecteur sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2 + y^4} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

Soit $u = (h, k)$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^2$ . Alors $\frac{f(tu) - f(0,0)}{t} = \frac{hk^2}{h^2 + t^2 k^4} \xrightarrow[t \to 0]{} \begin{cases} \dfrac{k^2}{h} & \text{si } k \neq 0 \\ 0 & \text{si } k = 0 \end{cases}$ Donc $f$ admet bien une dérivée directionnelle selon le vecteur $u$ en $(0,0)$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ puisque $f(t^2, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ .

1.2. Différentiabilité

Définition—Négligeabilité

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. On suppose que

0_E \in \mathcal{U}

. Écrire que

f(h) \underset{h \to 0_E}{=} o(h)

signifie que

\displaystyle\lim_{h \to 0_E} \frac{f(h)}{\|h\|} = 0_F

1.3. Lien avec les dérivées partielles

Proposition—Lien entre différentielle et dérivées partielles

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

f : \mathcal{U} \to F

. Si

f

est différentiable en

a

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*(v)

ou plus simplement

\mathrm{d}f(a) = \displaystyle\sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*

1.4. Gradient d'une fonction numérique

Définition—Gradient

On suppose que

E

est un espace euclidien. Soit

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}

. Si

f

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, on appelle gradient de $f$ en $a$ , l'unique vecteur

\nabla f(a)

E

tel que

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \langle \nabla f(a), v \rangle

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

Définition—Dérivée selon un vecteur

Soient

f : \mathcal{U} \to F

a \in \mathcal{U}

v \in E

. On dit que

f

est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$ si l'application

\varphi_{a,v} : t \mapsto f(a + tv)

est dérivable en

0

. Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ le vecteur

\varphi'_{a,v}(0)

, que l'on note

D_v f(a)

Remarque

Si on note

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

F

(i.e.

f_i = \mathbf{f}_i^* \circ f

), alors

f

est dérivable en

a

selon le vecteur

v

si et seulement si les

f_i

le sont. De plus,

D_v f(a) = \sum_{i=1}^{n} D_v f_i(a) \mathbf{f}_i

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

est dérivable en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

selon tout vecteur

(u, v) \in \mathbb{R}^2

D_{(u,v)} f(a, b) = 2(au + bv, av + bu)

Définition—Dérivées partielles dans une base

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

f : \mathcal{U} \to F

a \in \mathcal{U}

. On appelle dérivées partielles de

f

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

les applications

D_{\mathbf{e}_j} f

si elles sont définies. On les note

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

\partial_j f

Remarque

E = \mathbb{R}^p

et qu'on ne précise pas la base dans laquelle on considère les dérivées partielles, c'est qu'on considère implicitement la base canonique de

\mathbb{R}^p

Remarque

Si on note

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

F

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

si et seulement si c'est également le cas pour les

f_i

. De plus,

\forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket, \quad \partial_j f(a) = \sum_{i=1}^{n} \partial_j f_i(a) \mathbf{f}_i

Remarque

E = \mathbb{R}^2

, les variables d'une application

f : \mathbb{R}^2 \to F

sont notées plus volontiers

x

y

que

x_1

x_2

. Les dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

seront alors notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

\dfrac{\partial f}{\partial y}

plutôt que

\partial_1 f

\partial_2 f

. De même, si

E = \mathbb{R}^3

, les dérivées partielles dans la base canonique seront plutôt notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

\dfrac{\partial f}{\partial y}

\dfrac{\partial f}{\partial z}

Méthode—Calculer des dérivées partielles

Lorsque

E = \mathbb{R}^p

F = \mathbb{R}^n

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

est la dérivée de l'application

x_j \mapsto f(x_1, \ldots, x_n)

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

admet des dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 2(a, b) \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 2(b, a)

Exemple

On pose

\mathcal{U} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, \, x + y^2 > 0\}

. L'application

f : (x, y, z) \in \mathcal{U} \mapsto (\ln(x + y^2), e^{xz})

admet des dérivées partielles sur

\mathcal{U}

\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = \left(\frac{1}{x + y^2}, ze^{xz}\right)

\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = \left(\frac{2y}{x + y^2}, 0\right)

\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = (0, xe^{xz})

Exemple

Les applications

\pi_i : (x_1, \ldots, x_p) \in \mathbb{R}^p \mapsto x_i

admettent des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^p

\frac{\partial \pi_i}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_p) = \delta_{i,j}

Attention

Une fonction peut admettre des dérivées partielles sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

Par opérations, $f$ admet clairement des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . De plus, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0, 0)$ puisque $f(t, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ . Ainsi $(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} (0, 0)$ mais $f(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} \dfrac{1}{2} \neq f(0, 0)$ .

Attention

Une fonction peut même admettre des dérivées directionnelles selon tout vecteur sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2 + y^4} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

Soit $u = (h, k)$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^2$ . Alors $\frac{f(tu) - f(0,0)}{t} = \frac{hk^2}{h^2 + t^2 k^4} \xrightarrow[t \to 0]{} \begin{cases} \dfrac{k^2}{h} & \text{si } k \neq 0 \\ 0 & \text{si } k = 0 \end{cases}$ Donc $f$ admet bien une dérivée directionnelle selon le vecteur $u$ en $(0,0)$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ puisque $f(t^2, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ .

1.2. Différentiabilité

Définition—Négligeabilité

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. On suppose que

0_E \in \mathcal{U}

. Écrire que

f(h) \underset{h \to 0_E}{=} o(h)

signifie que

\displaystyle\lim_{h \to 0_E} \frac{f(h)}{\|h\|} = 0_F

1.3. Lien avec les dérivées partielles

Proposition—Lien entre différentielle et dérivées partielles

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

f : \mathcal{U} \to F

. Si

f

est différentiable en

a

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*(v)

ou plus simplement

\mathrm{d}f(a) = \displaystyle\sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*

1.4. Gradient d'une fonction numérique

Définition—Gradient

On suppose que

E

est un espace euclidien. Soit

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}

. Si

f

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, on appelle gradient de $f$ en $a$ , l'unique vecteur

\nabla f(a)

E

tel que

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \langle \nabla f(a), v \rangle

Calcul différentiel

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

1.2. Différentiabilité

1.3. Lien avec les dérivées partielles

1.4. Gradient d'une fonction numérique

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

1.2. Différentiabilité

1.3. Lien avec les dérivées partielles

1.4. Gradient d'une fonction numérique