The Maths Tailor

1Différentiabilité

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

Définition —Dérivée selon un vecteur

Soient

f : \mathcal{U} \to F

,

a \in \mathcal{U}

et

v \in E

. On dit que

f

est dérivable en $a$ selon le vecteur $v$ si l'application

\varphi_{a,v} : t \mapsto f(a + tv)

est dérivable en

0

. Dans ce cas, on appelle dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ le vecteur

\varphi'_{a,v}(0)

, que l'on note

D_v f(a)

.

Remarque

Si on note

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

de

F

(i.e.

f_i = \mathbf{f}_i^* \circ f

), alors

f

est dérivable en

a

selon le vecteur

v

si et seulement si les

f_i

le sont. De plus,

D_v f(a) = \sum_{i=1}^{n} D_v f_i(a) \mathbf{f}_i

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

est dérivable en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

selon tout vecteur

(u, v) \in \mathbb{R}^2

et

D_{(u,v)} f(a, b) = 2(au + bv, av + bu)

Définition —Dérivées partielles dans une base

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

,

f : \mathcal{U} \to F

et

a \in \mathcal{U}

. On appelle dérivées partielles de

f

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

les applications

D_{\mathbf{e}_j} f

si elles sont définies. On les note

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

ou

\partial_j f

.

Remarque

Si

E = \mathbb{R}^p

et qu'on ne précise pas la base dans laquelle on considère les dérivées partielles, c'est qu'on considère implicitement la base canonique de

\mathbb{R}^p

.

Remarque

Si on note

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

et

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

de

F

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

si et seulement si c'est également le cas pour les

f_i

. De plus,

\forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket, \quad \partial_j f(a) = \sum_{i=1}^{n} \partial_j f_i(a) \mathbf{f}_i

Remarque

Si

E = \mathbb{R}^2

, les variables d'une application

f : \mathbb{R}^2 \to F

sont notées plus volontiers

x

et

y

que

x_1

et

x_2

. Les dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

seront alors notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

et

\dfrac{\partial f}{\partial y}

plutôt que

\partial_1 f

et

\partial_2 f

. De même, si

E = \mathbb{R}^3

, les dérivées partielles dans la base canonique seront plutôt notées

\dfrac{\partial f}{\partial x}

,

\dfrac{\partial f}{\partial y}

et

\dfrac{\partial f}{\partial z}

.

Méthode —Calculer des dérivées partielles

Lorsque

E = \mathbb{R}^p

et

F = \mathbb{R}^n

, il est très aisé de calculer des dérivées partielles dans la base canonique. Il suffit de dériver chaque composante de la fonction par rapport à une variable les autres étant fixées.
Autrement dit,

\dfrac{\partial f}{\partial x_j}

est la dérivée de l'application

x_j \mapsto f(x_1, \ldots, x_n)

.

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

admet des dérivées partielles dans la base canonique de

\mathbb{R}^2

en tout point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

et

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 2(a, b) \quad \text{et} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 2(b, a)

Exemple

On pose

\mathcal{U} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, \, x + y^2 > 0\}

. L'application

f : (x, y, z) \in \mathcal{U} \mapsto (\ln(x + y^2), e^{xz})

admet des dérivées partielles sur

\mathcal{U}

et

\frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) = \left(\frac{1}{x + y^2}, ze^{xz}\right)

\frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) = \left(\frac{2y}{x + y^2}, 0\right)

\frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) = (0, xe^{xz})

Exemple

Les applications

\pi_i : (x_1, \ldots, x_p) \in \mathbb{R}^p \mapsto x_i

admettent des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^p

et

\frac{\partial \pi_i}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_p) = \delta_{i,j}

Attention

Une fonction peut admettre des dérivées partielles sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

.

Par opérations, $f$ admet clairement des dérivées partielles en tout point de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . De plus, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0, 0)$ puisque $f(t, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ . Ainsi $(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} (0, 0)$ mais $f(t, t) \xrightarrow[t \to 0]{} \dfrac{1}{2} \neq f(0, 0)$ .

Attention

Une fonction peut même admettre des dérivées directionnelles selon tout vecteur sans être continue.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2 + y^4} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées directionnelles selon tout vecteur en tout point de

\mathbb{R}^2

mais n'est pas continue en

(0, 0)

.

Soit $u = (h, k)$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^2$ . Alors $\frac{f(tu) - f(0,0)}{t} = \frac{hk^2}{h^2 + t^2 k^4} \xrightarrow[t \to 0]{} \begin{cases} \dfrac{k^2}{h} & \text{si } k \neq 0 \\ 0 & \text{si } k = 0 \end{cases}$ Donc $f$ admet bien une dérivée directionnelle selon le vecteur $u$ en $(0,0)$ .
Par contre, $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ puisque $f(t^2, t) = \dfrac{1}{2}$ pour tout $t \in \mathbb{R}^*$ .

1.2. Différentiabilité

Définition —Négligeabilité

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. On suppose que

0_E \in \mathcal{U}

. Écrire que

f(h) \underset{h \to 0_E}{=} o(h)

signifie que

\displaystyle\lim_{h \to 0_E} \frac{f(h)}{\|h\|} = 0_F

.

Remarque

Les normes que l'on choisit sur

E

et

F

n'importent pas car toutes les normes sur un espace de dimension finie sont équivalentes.

Définition —Développement limité à l'ordre 1

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. Une écriture du type

f(a + h) \underset{h \to 0_E}{=} c + L(h) + o(h)

avec

c \in F

et

L \in \mathcal{L}(E, F)

s'appelle un développement limité de $f$ à l'ordre 1 en $a$ . Si un tel développement limité existe, il est unique i.e. le vecteur

c

et l'application linéaire

L

sont uniques.

Remarque

Ceci signifie que

\displaystyle\lim_{h \to 0_E} \frac{f(a + h) - c - L(h)}{\|h\|} = 0_F

Définition —Différentiabilité en un point

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. On dit que

f

est différentiable en $a \in \mathcal{U}$ si

f

admet un développement limité à l'ordre 1 en

a

. Dans ce cas, il existe une unique application linéaire

L \in \mathcal{L}(E, F)

telle que

f(a + h) \underset{h \to 0_E}{=} f(a) + L(h) + o(h)

Cette application linéaire s'appelle la différentielle de $f$ en $a$ et se note

\mathrm{d}f(a)

.

Remarque

La différentielle de

f

en

a

est également appelée l'application linéaire tangente à

f

en

a

.

Remarque

Par souci de lisibilité, l'image d'un vecteur

v

par la différentielle de

f

en

a

se notera

\mathrm{d}f(a) \cdot v

plutôt que

\mathrm{d}f(a)(v)

.

Proposition

Si on note

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f : \mathcal{U} \to F

dans une base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

de

F

, alors

f

est différentiable en

a

si et seulement si les

f_i

le sont. De plus,

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \sum_{i=1}^{n} (\mathrm{d}f_i(a) \cdot v) \mathbf{f}_i

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Soit

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

. Soit

(a, b) \in \mathbb{R}^2

.

\forall (h, k) \in \mathbb{R}^2, \quad f((a, b) + (h, k)) = f(a, b) + 2(ah + bk, bh + ak) + (h^2 + k^2, 2hk)

L'application

L : (h, k) \in \mathbb{R}^2 \mapsto 2(ah + bk, bh + ak)

est bien linéaire et

(h^2 + k^2, 2hk) = o((h,k))

. On en déduit que

f

est différentiable en

(a, b)

et que

\mathrm{d}f(a, b)

est l'endomorphisme

(h, k) \in \mathbb{R}^2 \mapsto 2(ah + bk, bh + ak)

.

Exemple —Différentielle de l'inversion matricielle

On considère l'application

f : M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \mapsto M^{-1}

. On va montrer que

f

est différentiable sur

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

et calculer sa différentielle.
Soit

M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

. On munit

\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

d'une norme d'algèbre

\|\cdot\|

. On montre que

f(M + H) \underset{H \to 0}{=} f(M) - M^{-1}HM^{-1} + o(H)

L'application

H \mapsto -M^{-1}HM^{-1}

est clairement linéaire :

f

est donc différentiable en

M

et

\mathrm{d}f(M)

est l'application

H \mapsto -M^{-1}HM^{-1}

.

Proposition

Si

f : \mathcal{U} \to F

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, alors

$f$ est continue en $a$ ;
$f$ admet des dérivées en $a$ selon tout vecteur $v \in E$ ;
$\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = D_v f(a)$ .

Démonstration bientôt disponible

Définition —Différentiabilité sur un ouvert

Soit

f : \mathcal{U} \to F

. On dit que

f

est différentiable sur $\mathcal{U}$ si

f

est différentiable en tout point de

\mathcal{U}

. L'application

\mathrm{d}f : \begin{cases} \mathcal{U} \to \mathcal{L}(E, F) \\ a \mapsto \mathrm{d}f(a) \end{cases}

s'appelle la différentielle de $f$ sur $\mathcal{U}$ .

Proposition —Cas particuliers

Soit

f : \mathcal{U} \to F

.

Si $f$ est constante sur $\mathcal{U}$ , alors $f$ est différentiable sur $\mathcal{U}$ et $\mathrm{d}f$ est nulle sur $\mathcal{U}$ .
Si $f$ est la restriction à $\mathcal{U}$ d'une application linéaire de $E$ dans $F$ , alors $f$ est différentiable sur $\mathcal{U}$ et pour tout $a \in \mathcal{U}$ , $\mathrm{d}f(a) = f$ .
Si $\mathcal{U}$ est un intervalle ouvert de $E = \mathbb{R}$ , alors $f$ est différentiable en $a \in \mathcal{U}$ si et seulement si $f$ est dérivable en $a$ et, dans ce cas, $f'(a) = \mathrm{d}f(a) \cdot 1$ ou encore $\mathrm{d}f(a) \cdot h = f'(a)h$ pour tout $h \in \mathbb{R}$ .

Démonstration bientôt disponible

Exemple

Les applications

\pi_i : (x_1, \ldots, x_p) \in \mathbb{R}^p \mapsto x_i

sont différentiables sur

\mathbb{R}^p

et pour tout

x \in \mathbb{R}^p

,

\mathrm{d}\pi_i(x) = \pi_i

.

Attention

Une fonction peut être continue et admettre des dérivées selon tout vecteur sans pour autant être différentiable.

Exemple

Considérons la fonction

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Alors

f

admet des dérivées partielles en tout point de

\mathbb{R}^2

et est continue mais n'est pas différentiable en

(0, 0)

.

$f$ est continue en $(0,0)$ car $|f(x,y)| \leq \dfrac{1}{2}|y|$ .
$f$ admet une dérivée en $(0,0)$ selon tout vecteur $u = (h,k)$ non nul et $D_u f(0,0) = f(u)$ .
Si $f$ était différentiable en $(0,0)$ , on aurait $D_u f(0,0) = h \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) + k \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$ . Mais $D_{(1,1)} f(0,0) = \dfrac{1}{2} \neq 0$ .

1.3. Lien avec les dérivées partielles

Proposition —Lien entre différentielle et dérivées partielles

Soient

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

et

f : \mathcal{U} \to F

. Si

f

est différentiable en

a

, alors

f

admet des dérivées partielles en

a

dans la base

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

et

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*(v)

ou plus simplement

\mathrm{d}f(a) = \displaystyle\sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*

.

Démonstration bientôt disponible

Remarque

On en déduit un lien entre les dérivées directionnelles et les dérivées partielles si la fonction est différentiable :

\forall v \in E, \quad D_v f(a) = \mathrm{d}f(a) \cdot v = \sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j^*(v)

Remarque

Dans le cas où

E = \mathbb{R}^n

, les formes linéaires

(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mapsto x_i

sont souvent notées

\mathrm{d}x_i

. Dans ce cas, on peut écrire pour

f : \mathcal{U} \to F

différentiable en

a \in \mathcal{U}

,

\mathrm{d}f(a) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \, \mathrm{d}x_i

Exemple

Soit

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, 2xy)

. Soit

(a, b) \in \mathbb{R}^2

. On a vu que

\dfrac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 2(a, b)

et

\dfrac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 2(b, a)

. Comme

f

est différentiable sur

\mathbb{R}^2

,

\mathrm{d}f(a, b) \cdot (h, k) = 2h(a, b) + 2k(b, a) = 2(ah + bk, bh + ak)

Proposition —Matrice d'une différentielle dans un couple de bases

Soient

\mathcal{E} = (\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

une base de

E

,

\mathcal{F} = (\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

une base de

F

et

f : \mathcal{U} \to F

. Notons

(f_1, \ldots, f_n)

les coordonnées de

f

dans la base

(\mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_n)

.
Si

f

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, alors la matrice de

\mathrm{d}f(a)

dans les bases

\mathcal{E}

et

\mathcal{F}

est

(\partial_j f_i(a))_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq p}}

.

Démonstration bientôt disponible

Définition —Matrice jacobienne

Supposons

E = \mathbb{R}^p

et

F = \mathbb{R}^n

. Si

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}^n

est différentiable en

a

, la matrice de

\mathrm{d}f(a)

dans les bases canoniques de

\mathbb{R}^p

et

\mathbb{R}^n

s'appelle la matrice jacobienne de

f

en

a

.

Exemple

L'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + y^2, xy)

est différentiable sur

\mathbb{R}^2

. Sa matrice jacobienne en un point

(a, b) \in \mathbb{R}^2

est

\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ b & a \end{pmatrix}

.

Exemple

On pose

\mathcal{U} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, \, x + y^2 > 0\}

. L'application

f : (x, y, z) \in \mathcal{U} \mapsto (\ln(x + y^2), e^{xz})

est différentiable sur

\mathcal{U}

. Sa matrice jacobienne en un point

(x, y, z) \in \mathcal{U}

est

\begin{pmatrix} \dfrac{1}{x + y^2} & \dfrac{2y}{x + y^2} & 0 \\ ze^{xz} & 0 & xe^{xz} \end{pmatrix}

1.4. Gradient d'une fonction numérique

Définition —Gradient

On suppose que

E

est un espace euclidien. Soit

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}

. Si

f

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, on appelle gradient de $f$ en $a$ , l'unique vecteur

\nabla f(a)

de

E

tel que

\forall v \in E, \quad \mathrm{d}f(a) \cdot v = \langle \nabla f(a), v \rangle

Remarque

On peut toujours munir un

\mathbb{R}

-espace vectoriel de dimension finie d'une structure d'espace euclidien. En effet, si

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

est une base de

E

, l'application

(x, y) \in E^2 \mapsto \sum_{k=1}^{p} \mathbf{e}_k^*(x) \mathbf{e}_k^*(y)

est un produit scalaire. De plus,

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

est alors une base orthonormale pour ce produit scalaire.

Exemple —Gradient du carré de la norme

Soit

E

un espace euclidien. Posons

f : x \in E \mapsto \|x\|^2

. Fixons

a \in E

.

\forall h \in E, \quad f(a + h) = f(a) + 2\langle a, h \rangle + \|h\|^2

donc

f(a + h) \underset{h \to 0_E}{=} f(a) + 2\langle a, h \rangle + o(h)

. Ainsi

f

est différentiable en

a

et

\nabla f(a) = 2a

.

Proposition —Coordonnées du gradient dans une base orthonormale

On suppose que

E

est un espace euclidien. Soit

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}

différentiable en

a \in \mathcal{U}

. Les coordonnées de

\nabla f(a)

dans une base orthonormale

(\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_p)

de

E

sont les dérivées partielles de

f

dans cette base :

\nabla f(a) = \sum_{j=1}^{p} \partial_j f(a) \, \mathbf{e}_j

Démonstration bientôt disponible

Remarque

Si

E = \mathbb{R}^p

est muni de son produit scalaire usuel, la base canonique est orthonormale. Par conséquent, si

f : \mathcal{U} \to \mathbb{R}

est différentiable en

a \in \mathcal{U}

, alors

\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\right)_{1 \leq j \leq n}

Encadré —Interprétation géométrique du gradient

Si

\nabla f(a) \neq 0_E

,

\nabla f(a)

est colinéaire et de même sens que le vecteur unitaire selon lequel la dérivée de

f

en

a

est maximale. Il suffit en effet de remarquer que pour tout vecteur

v

unitaire

D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v \rangle \leq \|\nabla f(a)\| \, \|v\| = \|\nabla f(a)\|

avec égalité si et seulement si

v

et

\nabla f(a)

sont colinéaires et de même sens (inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité).

Exemple

Considérons l'application

f : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 + y^2

.

f

est différentiable sur

\mathbb{R}^2

car polynomiale. On munit

\mathbb{R}^2

de son produit scalaire usuel. Alors

\nabla f(x, y) = (2x, 2y)

On peut retrouver la différentielle de

f

:

\forall (h, k) \in \mathbb{R}^2, \quad \mathrm{d}f(x, y) \cdot (h, k) = \langle \nabla f(x, y), (h, k) \rangle = 2(xh + yk)

Exemple —Gradient et différentielle du déterminant

On munit

\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

de son produit scalaire usuel

(A, B) \mapsto \mathrm{tr}(A^\top B)

et on considère l'application

\det : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto \det(M)

. Cette application est différentiable sur

\mathcal{M}_n(\mathbb{R})

car polynomiale en les coefficients de la matrice.
On montre que

\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \quad \partial_{(i,j)} \det(M) = \mathrm{com}(M)_{i,j}

d'où

\nabla \det(M) = \mathrm{com}(M)

.
On peut alors retrouver la différentielle du déterminant :

\forall H \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \quad \mathrm{d}(\det)(M) \cdot H = \langle \nabla \det(M), H \rangle = \mathrm{tr}(\mathrm{com}(M)^\top H)

2Opérations sur les fonctions différentiables

3Applications de classe

\mathcal{C}^k

4Tangence et orthogonalité

5Optimisation des fonctions numériques

6Équations aux dérivées partielles

Calcul différentiel

1. Différentiabilité

1.1. Dérivabilité selon un vecteur

1.2. Différentiabilité

1.3. Lien avec les dérivées partielles

1.4. Gradient d'une fonction numérique