Calcul intégral

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Méthodes · BientôtExercices

1. Intégrale et aire

1.1. Unité d'aire et définition

Encadré—Unité d'aire

Dans un repère

(O, I, J)

, le rectangle de dimensions

1 \times 1

est le rectangle "unité" d'aire

1

u.a.

Lorsque les longueurs unitaires sont connues, on peut convertir les unités d'aire en unités de mesure (cm², etc.).

Définition—Intégrale d'une fonction positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a; b]

.

On appelle intégrale de $f$ sur $[a; b]$ l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = a

et

x = b

.

1.2. Notation et premières propriétés

Encadré—Notation

L'intégrale de

f

sur

[a; b]

se note :

\int_{a}^{b} f (x) d x

On lit : « intégrale de

a

à

b

de

f (x) d x

».

Remarques :
-

a

et

b

sont les bornes d'intégration.
-

x

est la variable d'intégration : elle peut être remplacée par toute autre lettre. Ainsi

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t

.

1.3. Encadrement par des rectangles

Encadré—Méthode des rectangles

Soit

f

continue, positive et monotone sur

[a; b]

. On partage

[a; b]

en

n

sous-intervalles de même amplitude

ℓ = \frac{b - a}{n}

.

Sur chaque sous-intervalle

[x; x + ℓ]

, l'aire sous la courbe est comprise entre :

ℓ \times f (x) \leq aire \leq ℓ \times f (x + ℓ)

Ainsi on obtient un encadrement de

\int_{a}^{b} f (x) d x

par la somme des rectangles inférieurs et supérieurs.

1.4. Extension aux fonctions de signe quelconque

Proposition—Intégrale d'une fonction négative

Soit

f

une fonction continue et négative sur

[a; b]

. L'aire de la surface délimitée par la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites

x = a

et

x = b

est égale à :

- \int_{a}^{b} f (x) d x

2. Intégrale et primitive

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Propriétés des intégrales

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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4. Intégration par parties

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5. Applications du calcul intégral

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6. Intégrale et aire

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7. Intégrale et primitive

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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8. Positivité et comparaison

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9. Aire délimitée par deux courbes

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10. Valeur moyenne d'une fonction

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1. Intégrale et aire

1.1. Unité d'aire et définition

Encadré—Unité d'aire

Dans un repère

(O, I, J)

, le rectangle de dimensions

1 \times 1

est le rectangle "unité" d'aire

1

u.a.

Lorsque les longueurs unitaires sont connues, on peut convertir les unités d'aire en unités de mesure (cm², etc.).

Définition—Intégrale d'une fonction positive

Soit

f

une fonction continue et positive sur un intervalle

[a; b]

.

On appelle intégrale de $f$ sur $[a; b]$ l'aire, exprimée en u.a., de la surface délimitée par la courbe représentative de

f

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

x = a

et

x = b

.

1.2. Notation et premières propriétés

Encadré—Notation

L'intégrale de

f

sur

[a; b]

se note :

\int_{a}^{b} f (x) d x

On lit : « intégrale de

a

à

b

de

f (x) d x

».

Remarques :
-

a

et

b

sont les bornes d'intégration.
-

x

est la variable d'intégration : elle peut être remplacée par toute autre lettre. Ainsi

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t

.

1.3. Encadrement par des rectangles

Encadré—Méthode des rectangles

Soit

f

continue, positive et monotone sur

[a; b]

. On partage

[a; b]

en

n

sous-intervalles de même amplitude

ℓ = \frac{b - a}{n}

.

Sur chaque sous-intervalle

[x; x + ℓ]

, l'aire sous la courbe est comprise entre :

ℓ \times f (x) \leq aire \leq ℓ \times f (x + ℓ)

Ainsi on obtient un encadrement de

\int_{a}^{b} f (x) d x

par la somme des rectangles inférieurs et supérieurs.

1.4. Extension aux fonctions de signe quelconque

Proposition—Intégrale d'une fonction négative

Soit

f

une fonction continue et négative sur

[a; b]

. L'aire de la surface délimitée par la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites

x = a

et

x = b

est égale à :

- \int_{a}^{b} f (x) d x

2. Intégrale et primitive

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5. Applications du calcul intégral

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10. Valeur moyenne d'une fonction

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Exemple—Notation d'une intégrale

L'aire de la surface délimitée par la courbe de

f (x) = x^{2} + 1

, l'axe des abscisses et les droites

x = - 2

et

x = 1

est :

\int_{- 2}^{1} (x^{2} + 1) d x

Algorithme—Algorithme d'encadrement

En langage naturel : ``` Définir fonction rectangle(a, b, n) L ← (b - a) / n x ← a m ← 0 {somme des rectangles inférieurs} p ← 0 {somme des rectangles supérieurs} Pour i allant de 0 à n-1 m ← m + L × f(x) x ← x + L p ← p + L × f(x) FinPour Afficher m et p ```

Exemple : Pour

f (x) = x^{2}

sur

[1; 2]

, on obtient :

2, 31 < \int_{1}^{2} x^{2} d x < 2, 35

.

Démonstration bientôt disponible

Proposition—Propriétés sur les bornes

Pour

f

continue sur un intervalle contenant

a

,

b

et

c

:

a)

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

b)

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

c) Relation de Chasles :

\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Déterminer une intégrale par calculs d'aire

Exemple : Calculer

\int_{2}^{5} (3 - x) d x

.

La droite

y = 3 - x

coupe l'axe des abscisses en

x = 3

.
- Sur

[2; 3]

:

3 - x \geq 0

- Sur

[3; 5]

:

3 - x \leq 0

Par la relation de Chasles :

\int_{2}^{5} (3 - x) d x = \int_{2}^{3} (3 - x) d x + \int_{3}^{5} (3 - x) d x = \frac{1 \times 1}{2} + (- \frac{2 \times 2}{2}) = - 1, 5

Remarque

Si une intégrale est nulle, la fonction n'est pas nécessairement nulle. Par exemple :

\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0

car la courbe de

f (x) = x^{3}

est symétrique par rapport à l'origine.