Combinatoire et dénombrement

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Méthodes · BientôtExercices

1. Principe additif et principe multiplicatif

1.1. Notion de dénombrement

Définition—Ensemble fini, cardinal, dénombrement

- Un ensemble

E

est fini lorsqu'il admet un nombre fini d'éléments.
- Le nombre d'éléments de

E

est appelé le cardinal de

E

, noté

Card (E)

ou

∣ E ∣

.
- Dénombrer, c'est déterminer le cardinal d'un ensemble fini.
- Deux ensembles sont disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun.

Exemples :
- L'ensemble

E

des joueurs d'une équipe de foot est fini :

Card (E) = 11

.
-

N

n'est pas un ensemble fini.

1.2. Principe additif

Proposition—Principe additif

Soit

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{p}

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

Card (E_{1} \cup E_{2} \cup \dots \cup E_{p}) = Card (E_{1}) + Card (E_{2}) + \dots + Card (E_{p})

1.3. Principe multiplicatif et produit cartésien

Définition—Produit cartésien

Soit

p

ensembles finis

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{p}

.
- Le produit cartésien

E_{1} \times E_{2}

est l'ensemble des couples

(a_{1}, a_{2})

où

a_{1} \in E_{1}

et

a_{2} \in E_{2}

.
- Plus généralement,

E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{p}

est l'ensemble des

p

-uplets

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{p})

où

a_{i} \in E_{i}

.

2. $k$ -uplets et permutations

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3. Combinaisons

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1. Principe additif et principe multiplicatif

1.1. Notion de dénombrement

Définition—Ensemble fini, cardinal, dénombrement

- Un ensemble

E

est fini lorsqu'il admet un nombre fini d'éléments.
- Le nombre d'éléments de

E

est appelé le cardinal de

E

, noté

Card (E)

ou

∣ E ∣

.
- Dénombrer, c'est déterminer le cardinal d'un ensemble fini.
- Deux ensembles sont disjoints s'ils n'ont aucun élément en commun.

Exemples :
- L'ensemble

E

des joueurs d'une équipe de foot est fini :

Card (E) = 11

.
-

N

n'est pas un ensemble fini.

1.2. Principe additif

Proposition—Principe additif

Soit

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{p}

des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :

Card (E_{1} \cup E_{2} \cup \dots \cup E_{p}) = Card (E_{1}) + Card (E_{2}) + \dots + Card (E_{p})

1.3. Principe multiplicatif et produit cartésien

Définition—Produit cartésien

Soit

p

ensembles finis

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{p}

.
- Le produit cartésien

E_{1} \times E_{2}

est l'ensemble des couples

(a_{1}, a_{2})

où

a_{1} \in E_{1}

et

a_{2} \in E_{2}

.
- Plus généralement,

E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{p}

est l'ensemble des

p

-uplets

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{p})

où

a_{i} \in E_{i}

.

2. $k$ -uplets et permutations

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Démonstration bientôt disponible

Exemple—Application du principe additif

Soit

E_{1} = {a; b; c; d}

et

E_{2} = {α; β; γ}

. Ces ensembles sont disjoints donc :

Card (E_{1} \cup E_{2}) = 4 + 3 = 7

Méthode—Dénombrer à l'aide d'un diagramme

Exemple : Dans une classe, 16 élèves pratiquent le latin, 14 le théâtre, 5 pratiquent les deux et 8 n'en pratiquent aucune. Calculer le nombre total d'élèves.

Soit

L

l'ensemble des latinistes et

T

l'ensemble des théâtreux.

L

et

T

ne sont pas disjoints, on utilise un diagramme de Venn :
- Uniquement latin :

16 - 5 = 11

- Les deux :

5

- Uniquement théâtre :

14 - 5 = 9

- Aucune option :

8

Par le principe additif sur des ensembles disjoints :

11 + 5 + 9 + 8 = 33 \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˋ} ves

Proposition—Principe multiplicatif

Soit

p

ensembles finis

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{p}

. Alors :

Card (E_{1} \times E_{2} \times \dots \times E_{p}) = Card (E_{1}) \times Card (E_{2}) \times \dots \times Card (E_{p})

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Appliquer le principe multiplicatif

Exemple : Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts.

a) Nombre de menus (entrée + plat + dessert) :

Card (E \times P \times D) = 3 \times 4 \times 2 = 24 menus

b) Si le dessert est imposé (tarte aux pommes) :

Card (E \times P) = 3 \times 4 = 12 menus