Convexité

terminaleanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Dérivée seconde

1.1. Définition et calcul

Définition—Dérivée seconde

Soit une fonction

f

dérivable sur un intervalle

I

dont la dérivée

f^{'}

est dérivable sur

I

.

On appelle fonction dérivée seconde de $f$ sur $I$ la dérivée de

f^{'}

et on note :

f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}

Méthode—Calculer la dérivée seconde d'une fonction

Exemple : Calculer la dérivée seconde de

f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1

,

g (x) = x e^{x}

et

h (x) = cos (2 x)

.

f^{'} (x) = 9 x^{2} - 10 x ⟹ f^{''} (x) = 18 x - 10

g^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x) ⟹ g^{''} (x) = e^{x} (1 + x) + e^{x} = e^{x} (2 + x)

h^{'} (x) = - 2 sin (2 x) ⟹ h^{''} (x) = - 4 cos (2 x)

2. Fonction convexe et fonction concave

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3. Point d'inflexion

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4. Dérivée seconde

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5. Fonction convexe et fonction concave

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1. Dérivée seconde

1.1. Définition et calcul

Définition—Dérivée seconde

Soit une fonction

f

dérivable sur un intervalle

I

dont la dérivée

f^{'}

est dérivable sur

I

.

On appelle fonction dérivée seconde de $f$ sur $I$ la dérivée de

f^{'}

et on note :

f^{''} (x) = (f^{'} (x))^{'}

Méthode—Calculer la dérivée seconde d'une fonction

Exemple : Calculer la dérivée seconde de

f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1

,

g (x) = x e^{x}

et

h (x) = cos (2 x)

.

f^{'} (x) = 9 x^{2} - 10 x ⟹ f^{''} (x) = 18 x - 10

g^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x) ⟹ g^{''} (x) = e^{x} (1 + x) + e^{x} = e^{x} (2 + x)

h^{'} (x) = - 2 sin (2 x) ⟹ h^{''} (x) = - 4 cos (2 x)

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