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Convexité | The Maths Tailor

Convexité

SUPanalyse

Méthodes Exercices

1. Fonctions convexes

1.1. Définition et propriétés

Définition—Convexité

Soit

f : I \to R

une application.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^{2}, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)$
On dit que $f$ est concave sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^{2}, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) a + t b) \geq (1 - t) f (a) + t f (b)$

Contre-exemple—Une fonction non convexe : sin sur [0, 2π]

La fonction

sin

n'est pas convexe sur

[0, 2 π]

.

Prenons

a = 0

b = π

t = \frac{1}{2}

. Alors

(1 - t) a + t b = \frac{π}{2}

et :

f (\frac{π}{2}) = sin \frac{π}{2} = 1

(1 - t) f (a) + t f (b) = \frac{1}{2} sin (0) + \frac{1}{2} sin (π) = 0

Donc

f (\frac{π}{2}) = 1 > 0 = (1 - t) f (a) + t f (b)

: l'inégalité de la définition est violée. La fonction

sin

est concave sur

[0, π]

mais n'est ni convexe ni concave sur

[0, 2 π]

tout entier.

Exemple—Vérification directe de la convexité par la définition

La fonction

f : x \mapsto x^{2}

est convexe sur

R

.

Vérification par la définition. Soient

a, b \in R

t \in [0, 1]

. On pose

c = (1 - t) a + t b

. Alors :

f (c) = c^{2} = ((1 - t) a + t b)^{2} = (1 - t)^{2} a^{2} + 2 t (1 - t) ab + t^{2} b^{2}

(1 - t) f (a) + t f (b) = (1 - t) a^{2} + t b^{2}

Donc :

(1 - t) f (a) + t f (b) - f (c) = (1 - t) a^{2} + t b^{2} - (1 - t)^{2} a^{2} - 2 t (1 - t) ab - t^{2} b^{2}

= (1 - t) t a^{2} - 2 t (1 - t) ab + t (1 - t) b^{2} = t (1 - t) (a - b)^{2} \geq 0

puisque

t (1 - t) \geq 0

pour

t \in [0, 1]

. Donc

f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)

f

est bien convexe sur

R

Remarques

Pour tout

t \in [0, 1]

, le réel

(1 - t) a + t b

est compris entre

a

b

et appartient donc à

I

puisque

I

est un intervalle.

Encadré—Interprétation graphique de la convexité

Soit

(a, b) \in I^{2}

. Pour

t \in [0, 1]

, posons

x_{t} = (1 - t) a + t b

et notons

$F_{t}$ le point du graphe de $f$ d'abscisse $x_{t}$ ;
$S_{t}$ le point du segment $[F_{0} F_{1}]$ d'abscisse $x_{t}$ .

Lorsque

t

décrit

[0, 1]

S_{t}

décrit le segment

[F_{0} F_{1}]

F_{t}

décrit l'arc du graphe compris entre

F_{0}

F_{1}

. La condition de convexité dit simplement que

F_{t}

est toujours situé au-dessous de

S_{t}

. Géométriquement, tout arc du graphe de

f

est situé au-dessous de la corde correspondante.

De manière similaire, dire que

f

est concave signifie tout arc du graphe de

f

est situé au-dessus de la corde correspondante.

Proposition—Croissance des pentes

Soient

f : I \to R

a \in I

. Alors

f

est convexe si et seulement si

x \in I ∖ {a} \mapsto \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

est croissante.

Encadré—Interprétation graphique de l'inégalité des trois pentes

L'inégalité des trois cordes s'interprète de la manière suivante

pente de la corde AB \leq pente de la corde AC \leq pente de la corde BC

Encadré—Régularité d'une fonction convexe

Soit

f

une fonction convexe sur un intervalle

I

. L'inégalité des trois cordes montre que le taux de variation en un point

a \in I

est croissant sur

I

. Le théorème de la limite monotone permet d'affirmer que le taux de variation en

a

admet une limite finie à gauche et à droite si

a \in \overset{˚}{I}

. Ainsi

f

est dérivable à gauche et à droite sur

\overset{˚}{I}

et donc a fortiori continue sur

\overset{˚}{I}

.

Néanmoins,

f

n'est pas nécessairement continue sur

I

I

est fermé : il peut y avoir discontinuité aux extrémités de

I

2. Lien avec la dérivabilité

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Convexité généralisée et applications

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

1. Fonctions convexes

1.1. Définition et propriétés

Définition—Convexité

Soit

f : I \to R

une application.

On dit que $f$ est convexe sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^{2}, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)$
On dit que $f$ est concave sur $I$ si : $\forall (a, b) \in I^{2}, \forall t \in [0, 1], f ((1 - t) a + t b) \geq (1 - t) f (a) + t f (b)$

Contre-exemple—Une fonction non convexe : sin sur [0, 2π]

La fonction

sin

n'est pas convexe sur

[0, 2 π]

.

Prenons

a = 0

b = π

t = \frac{1}{2}

. Alors

(1 - t) a + t b = \frac{π}{2}

et :

f (\frac{π}{2}) = sin \frac{π}{2} = 1

(1 - t) f (a) + t f (b) = \frac{1}{2} sin (0) + \frac{1}{2} sin (π) = 0

Donc

f (\frac{π}{2}) = 1 > 0 = (1 - t) f (a) + t f (b)

: l'inégalité de la définition est violée. La fonction

sin

est concave sur

[0, π]

mais n'est ni convexe ni concave sur

[0, 2 π]

tout entier.

Exemple—Vérification directe de la convexité par la définition

La fonction

f : x \mapsto x^{2}

est convexe sur

R

.

Vérification par la définition. Soient

a, b \in R

t \in [0, 1]

. On pose

c = (1 - t) a + t b

. Alors :

f (c) = c^{2} = ((1 - t) a + t b)^{2} = (1 - t)^{2} a^{2} + 2 t (1 - t) ab + t^{2} b^{2}

(1 - t) f (a) + t f (b) = (1 - t) a^{2} + t b^{2}

Donc :

(1 - t) f (a) + t f (b) - f (c) = (1 - t) a^{2} + t b^{2} - (1 - t)^{2} a^{2} - 2 t (1 - t) ab - t^{2} b^{2}

= (1 - t) t a^{2} - 2 t (1 - t) ab + t (1 - t) b^{2} = t (1 - t) (a - b)^{2} \geq 0

puisque

t (1 - t) \geq 0

pour

t \in [0, 1]

. Donc

f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)

f

est bien convexe sur

R

Remarques

Pour tout

t \in [0, 1]

, le réel

(1 - t) a + t b

est compris entre

a

b

et appartient donc à

I

puisque

I

est un intervalle.

Encadré—Interprétation graphique de la convexité

Soit

(a, b) \in I^{2}

. Pour

t \in [0, 1]

, posons

x_{t} = (1 - t) a + t b

et notons

$F_{t}$ le point du graphe de $f$ d'abscisse $x_{t}$ ;
$S_{t}$ le point du segment $[F_{0} F_{1}]$ d'abscisse $x_{t}$ .

Lorsque

t

décrit

[0, 1]

S_{t}

décrit le segment

[F_{0} F_{1}]

F_{t}

décrit l'arc du graphe compris entre

F_{0}

F_{1}

. La condition de convexité dit simplement que

F_{t}

est toujours situé au-dessous de

S_{t}

. Géométriquement, tout arc du graphe de

f

est situé au-dessous de la corde correspondante.

De manière similaire, dire que

f

est concave signifie tout arc du graphe de

f

est situé au-dessus de la corde correspondante.

Proposition—Croissance des pentes

Soient

f : I \to R

a \in I

. Alors

f

est convexe si et seulement si

x \in I ∖ {a} \mapsto \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

est croissante.

Encadré—Interprétation graphique de l'inégalité des trois pentes

L'inégalité des trois cordes s'interprète de la manière suivante

pente de la corde AB \leq pente de la corde AC \leq pente de la corde BC

Encadré—Régularité d'une fonction convexe

Soit

f

une fonction convexe sur un intervalle

I

. L'inégalité des trois cordes montre que le taux de variation en un point

a \in I

est croissant sur

I

. Le théorème de la limite monotone permet d'affirmer que le taux de variation en

a

admet une limite finie à gauche et à droite si

a \in \overset{˚}{I}

. Ainsi

f

est dérivable à gauche et à droite sur

\overset{˚}{I}

et donc a fortiori continue sur

\overset{˚}{I}

.

Néanmoins,

f

n'est pas nécessairement continue sur

I

I

est fermé : il peut y avoir discontinuité aux extrémités de

I

2. Lien avec la dérivabilité

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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3. Convexité généralisée et applications

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

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Démonstration

Soit

f : I \to R

a \in I

. On pose

φ_{a} : x \in I ∖ {a} \mapsto \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

.

( $\Rightarrow$ ) Supposons $f$ convexe, montrons $φ_{a}$ croissante.

Soient

x < y

dans

I ∖ {a}

. On veut montrer

φ_{a} (x) \leq φ_{a} (y)

, c'est-à-dire :

\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \leq \frac{f ( y ) - f ( a )}{y - a}

On distingue plusieurs cas selon la position relative de

a

x

y

.

*Cas

a < x < y

.* On écrit

x

comme combinaison convexe de

a

y

: il existe

t \in (0, 1)

tel que

x = (1 - t) a + t y

(prendre

t = \frac{x - a}{y - a}

). Par convexité de

f

(Définition 1.1) :

f (x) \leq (1 - t) f (a) + t f (y) = f (a) + t (f (y) - f (a))

Donc

f (x) - f (a) \leq t (f (y) - f (a)) = \frac{x - a}{y - a} (f (y) - f (a))

, ce qui donne, en divisant par

x - a > 0

\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} \leq \frac{f ( y ) - f ( a )}{y - a}

*Cas

x < y < a

.* On écrit

y

comme combinaison convexe de

x

a

y = (1 - t) x + t a

avec

t = \frac{y - x}{a - x} \in (0, 1)

. Par convexité :

f (y) \leq (1 - t) f (x) + t f (a)

En développant :

f (y) - f (a) \leq (1 - t) (f (x) - f (a))

. Divisant par

y - a < 0

(ce qui inverse l'inégalité) :

\frac{f ( y ) - f ( a )}{y - a} \geq \frac{( 1 - t ) ( f ( x ) - f ( a ))}{y - a}

1 - t = \frac{a - y}{a - x}

y - a = - (a - y)

, donc

\frac{1 - t}{y - a} = \frac{( a - y ) / (( a - x ))}{y - a} = \frac{- 1}{a - x} = \frac{1}{x - a}

. Ainsi :

\frac{f ( y ) - f ( a )}{y - a} \geq \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}

*Cas

x < a < y

.* En appliquant le premier cas avec le rôle de

x

a

échangé (ou directement) : on écrit

a = (1 - t) x + t y

avec

t = \frac{a - x}{y - x} \in (0, 1)

. Par convexité :

f (a) \leq (1 - t) f (x) + t f (y)

D'où

(1 - t) (f (a) - f (x)) \leq t (f (y) - f (a))

, et comme

1 - t = \frac{y - a}{y - x}

t = \frac{a - x}{y - x}

\frac{f ( a ) - f ( x )}{a - x} \leq \frac{f ( y ) - f ( a )}{y - a}

ce qui s'écrit bien

φ_{a} (x) \leq φ_{a} (y)

.

( $\Leftarrow$ ) Supposons $φ_{a}$ croissante pour tout $a \in I$ , montrons $f$ convexe.

Soient

(a, b) \in I^{2}

t \in [0, 1]

. Posons

c = (1 - t) a + t b \in I

. Si

a = b

t \in {0, 1}

, l'inégalité est une égalité. Supposons

a < b

t \in (0, 1)

, de sorte que

a < c < b

.

La croissance de

φ_{c}

donne (avec

a < c

c < b

, mais

a, b \in I ∖ {c}

) :

\frac{f ( a ) - f ( c )}{a - c} \leq \frac{f ( b ) - f ( c )}{b - c}

On a

a - c = - (1 - t) (b - a) < 0

b - c = (1 - t) (b - a) \cdot \frac{b - c}{b - c}

... Plus directement, posons

α = c - a = t (b - a) > 0

β = b - c = (1 - t) (b - a) > 0

. La croissance de

φ_{c}

donne :

\frac{f ( a ) - f ( c )}{a - c} \leq \frac{f ( b ) - f ( c )}{b - c} ⟹ \frac{f ( c ) - f ( a )}{α} \leq \frac{f ( b ) - f ( c )}{β}

Donc

β (f (c) - f (a)) \leq α (f (b) - f (c))

, soit

(1 - t) (f (c) - f (a)) \leq t (f (b) - f (c))

.

En développant :

(1 - t) f (c) - (1 - t) f (a) \leq t f (b) - t f (c)

, d'où

f (c) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)

.

Ainsi

f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b)

, ce qui est exactement la Définition 1.1 de la convexité.