Dérivation

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Méthodes · BientôtExercices

1. Limite et nombre dérivé

1.1. Limite en zéro d'une fonction

Exemple—Fonction rationnelle

Soit la fonction

f

définie sur

] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2} - 1}{x}

.

L'image de

0

par la fonction

f

n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de

f (x)

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On constate que

f (x)

se rapproche de

2

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On dit que la limite de

f (x)

lorsque

x

tend vers

0

est égale à

2

et on note :

x \to 0 lim f (x) = 2

.

Définition—Limite en zéro

On dit que

f

a pour limite

L

lorsque

x

tend vers

0

si les valeurs de

f (x)

peuvent être aussi proches de

L

que l'on veut pourvu que

x

soit suffisamment proche de

0

.

On note :

x \to 0 lim f (x) = L

1.2. Nombre dérivé et dérivabilité

Remarque

Sur le graphique, la pente de la droite

(A M)

sécante à la courbe est égale à :

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

, avec

h \neq = 0

.

Lorsque

M

se rapproche de

A

,

h

se rapproche de

0

. La droite

(A M)

se rapproche alors d'une position limite dont la pente est égale à

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

.

Cette pente s'appelle le nombre dérivé de

f

en

a

et se note

f^{'} (a)

.

1.3. Fonction valeur absolue

Définition—Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = ∣ x ∣

.

Si

x \geq 0

, alors

f (x) = ∣ x ∣ = x

Si

x \leq 0

, alors

f (x) = ∣ x ∣ = - x

2. Tangente à une courbe

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3. Dérivées des fonctions usuelles

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4. Opérations sur les fonctions dérivées

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5. Étude des variations d'une fonction

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6. Extremum d'une fonction

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7. Applications

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1. Limite et nombre dérivé

1.1. Limite en zéro d'une fonction

Exemple—Fonction rationnelle

Soit la fonction

f

définie sur

] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2} - 1}{x}

.

L'image de

0

par la fonction

f

n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de

f (x)

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On constate que

f (x)

se rapproche de

2

lorsque

x

se rapproche de

0

.

On dit que la limite de

f (x)

lorsque

x

tend vers

0

est égale à

2

et on note :

x \to 0 lim f (x) = 2

.

Définition—Limite en zéro

On dit que

f

a pour limite

L

lorsque

x

tend vers

0

si les valeurs de

f (x)

peuvent être aussi proches de

L

que l'on veut pourvu que

x

soit suffisamment proche de

0

.

On note :

x \to 0 lim f (x) = L

1.2. Nombre dérivé et dérivabilité

Remarque

Sur le graphique, la pente de la droite

(A M)

sécante à la courbe est égale à :

\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

, avec

h \neq = 0

.

Lorsque

M

se rapproche de

A

,

h

se rapproche de

0

. La droite

(A M)

se rapproche alors d'une position limite dont la pente est égale à

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}

.

Cette pente s'appelle le nombre dérivé de

f

en

a

et se note

f^{'} (a)

.

1.3. Fonction valeur absolue

Définition—Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue est la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = ∣ x ∣

.

Si

x \geq 0

, alors

f (x) = ∣ x ∣ = x

Si

x \leq 0

, alors

f (x) = ∣ x ∣ = - x

2. Tangente à une courbe

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3. Dérivées des fonctions usuelles

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4. Opérations sur les fonctions dérivées

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5. Étude des variations d'une fonction

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6. Extremum d'une fonction

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7. Applications

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Définition—Fonction dérivable en a

On dit que la fonction

f

est dérivable en

a

s'il existe un nombre réel

L

, tel que :

h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = L

L

est appelé le nombre dérivé de

f

en

a

et se note

f^{'} (a)

.

Méthode—Démontrer qu'une fonction est dérivable

Soit la fonction trinôme

f

définie sur

R

par

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

. Démontrer que

f

est dérivable en

x = 2

.

Correction:

On calcule

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}

pour

h \neq = 0

:

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{( 2 + h ) ^{2} + 2 ( 2 + h ) - 3 - 5}{h} = \frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h

Donc :

h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = 6

Le nombre dérivé de

f

en

2

vaut

6

:

f^{'} (2) = 6

.

Proposition—Variations

La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur

] - \infty; 0]

et strictement croissante sur

[0; + \infty [

.

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Non dérivabilité de |x| en 0

Démontrer que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en

0

.

Correction:

On calcule le taux d'accroissement :

\frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, si h > 0 si h < 0

Donc

h \to 0 lim \frac{f ( 0 + h ) - f ( 0 )}{h}

n'existe pas. La limite ne peut pas être égale à la fois à

1

et à

- 1

.

La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en

0

.