Dérivation

terminaleanalyse

Méthodes · BientôtExercices

1. Rappels sur la dérivation

1.1. Formules de dérivation

Encadré—Dérivées des fonctions usuelles

Fonction	Dérivée
$a$ , $a \in R$	$0$
$a x$ , $a \in R$	$a$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{n}$ , $n \geq 1$ entier	$n x^{n - 1}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$\frac{1}{x ^{n}}$ , $n \geq 1$ entier	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{k x}$ , $k \in R$	$k e^{k x}$

Encadré—Opérations sur les dérivées

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
$k u$ , $k \in R$	$k u^{'}$
$uv$	$u^{'} v + u v^{'}$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

1.2. Tangente et variations

Proposition—Équation de la tangente

Une équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

est :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

2. Dérivée d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Étude d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

4. Rappels sur la dérivation

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

5. Dérivée d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

1. Rappels sur la dérivation

1.1. Formules de dérivation

Encadré—Dérivées des fonctions usuelles

Fonction	Dérivée
$a$ , $a \in R$	$0$
$a x$ , $a \in R$	$a$
$x^{2}$	$2 x$
$x^{n}$ , $n \geq 1$ entier	$n x^{n - 1}$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$
$\frac{1}{x ^{n}}$ , $n \geq 1$ entier	$- \frac{n}{x ^{n + 1}}$
$x$	$\frac{1}{2 x}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$e^{k x}$ , $k \in R$	$k e^{k x}$

Encadré—Opérations sur les dérivées

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u^{'} + v^{'}$
$k u$ , $k \in R$	$k u^{'}$
$uv$	$u^{'} v + u v^{'}$
$\frac{1}{u}$	$- \frac{u ^{'}}{u ^{2}}$
$\frac{u}{v}$	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

1.2. Tangente et variations

Proposition—Équation de la tangente

Une équation de la tangente à la courbe de

f

au point d'abscisse

a

est :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

2. Dérivée d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

3. Étude d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

4. Rappels sur la dérivation

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

5. Dérivée d'une fonction composée

Cours complets, méthodes de résolution et corrections d'exercices.

Voir les offres

Démonstration bientôt disponible

Théorème—Signe de la dérivée et variations

Soit une fonction

f

définie et dérivable sur un intervalle

I

.

- Si

f^{'} (x) \leq 0

sur

I

, alors

f

est décroissante sur

I

.
- Si

f^{'} (x) \geq 0

sur

I

, alors

f

est croissante sur

I

.

Démonstration bientôt disponible

Méthode—Étudier les variations d'une fonction

Exemple : Soit

f (x) = x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 12 x + 5

définie sur

R

.

a)

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 9 x - 12

b) Discriminant :

Δ = 81 + 144 = 225

. Racines :

x_{1} = \frac{- 9 - 15}{6} = - 4

et

x_{2} = \frac{- 9 + 15}{6} = 1

.

Comme

a = 3 > 0

,

f^{'}

est positive, puis négative, puis positive.

c) Tableau de variations :

f (- 4) = 61 f (1) = - \frac{3}{2}

$x$	$- \infty$		$- 4$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$61$	$↘$	$- \frac{3}{2}$	$↗$	$+ \infty$