Développements limités

On veut montrer que ${\mathrm{DL}}_n(0)$ de $x\mapsto \frac{1}{1-x}$ est $\frac{1}{1-x}\underset{x\to 0}{=}\sum _{k=0}^n{x}^k+o(x^n)$.

On utilise l'identité algébrique de la somme géométrique : pour $x\ne 1$,$$\sum _{k=0}^n{x}^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.$$Donc, pour $x\ne 1$ :$$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^n{x}^k+\frac{x^{n+1}}{1-x}.$$Il reste à montrer que le reste $r(x)=\frac{x^{n+1}}{1-x}$ est un $o(x^n)$ quand $x\to 0$.

On calcule $\frac{r(x)}{x^n}=\frac{x^{n+1}}{(1-x)x^n}=\frac{x}{1-x}$, et $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{1-x}=\frac{0}{1}=0$.

Donc $r(x)=o(x^n)$ quand $x\to 0$, et par la Définition 1.1 :$$\frac{1}{1-x}\underset{x\to 0}{=}\sum _{k=0}^n{x}^k+o(x^n).$$

Posons $h=x-a$ de sorte que $h\to 0$ quand $x\to a$. On suppose que $c_p\ne 0$ est le premier coefficient non nul. Par la Définition 1.1,$$f(a+h)=c_p{h}^p+c_{p+1}{h}^{p+1}+\cdots +c_n{h}^n+o(h^n)$$$$=c_p{h}^p\left(1+\frac{c_{p+1}}{c_p}h+\cdots +\frac{c_n}{c_p}{h}^{n-p}+o(h^{n-p})\right)$$Le facteur entre parenthèses tend vers $1$ quand $h\to 0$, donc $f(a+h)\underset{h\to 0}{\sim }{c}_p{h}^p$, ce qui s'écrit $f(x)\underset{x\to a}{\sim }{c}_p(x-a{)}^p$.

Soit $p\le n$. Par la Définition 1.1, on a en posant $h=x-a$ :$$f(a+h)=\sum _{k=0}^n{c}_k{h}^k+o(h^n)$$$$=\sum _{k=0}^p{c}_k{h}^k+\sum _{k=p+1}^n{c}_k{h}^k+o(h^n)$$Or $\sum _{k=p+1}^n{c}_k{h}^k=o(h^p)$ puisque chaque terme est un $o(h^p)$ (car $k\ge p+1>p$). De même, $o(h^n)=o(h^p)$ car $n\ge p$. Donc$$f(a+h)=\sum _{k=0}^p{c}_k{h}^k+o(h^p)$$ce qui est exactement un développement limité d'ordre $p$ de $f$ en $a$, de partie régulière $\sum _{k=0}^p{c}_k{h}^k$.

Démontrons les deux équivalences.

Continuité. $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$, ce qui équivaut à $f(x)-f(a)=o(1)$, soit $f(x)=f(a)+o(1)$. Ceci est exactement la Définition 1.1 avec $n=0$, $c_0=f(a)$, qui s'écrit $f(x)\underset{x\to a}{=}f(a)+o(1)$.

Dérivabilité. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si il existe $\ell \in \mathbb{R}$ tel que $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to \ell$ quand $x\to a$, i.e.$$f(x)-f(a)-\ell (x-a)=o(x-a)$$autrement dit $f(x)=f(a)+\ell (x-a)+o(x-a)$. Ceci est exactement la Définition 1.1 avec $n=1$, $c_0=f(a)$, $c_1=\ell$. La limite $\ell$ est alors nécessairement $f^{\prime }(a)$ (valeur de la dérivée en $a$). Donc $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle admet un DL d'ordre $1$ en $a$, et ce DL est $f(x)\underset{x\to a}{=}f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+o(x-a)$.