Endomorphismes d'un espace euclidien

THE MATHS TAILOR

1. Adjoint d'un endomorphisme

1.1. Adjoint d'un endomorphisme

Remarque

On rappelle que

E^*

désigne l'espace dual d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur

E

. Autrement dit,

E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})

Théorème—Représentation des formes linéaires

L'application

\begin{cases} E & \longrightarrow E^* \\ a & \longmapsto (x \in E \mapsto \langle a, x \rangle) \end{cases}

est un isomorphisme.

Remarque

Ceci signifie en particulier que pour toute forme linéaire

\varphi \in E^*

, il existe un unique vecteur

a \in E

tel que

\forall x \in E, \; \varphi(x) = \langle a, x \rangle

Définition—Adjoint

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

. Il existe un unique

u^* \in \mathcal{L}(E)

tel que

\forall (x, y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle

Cet endomorphisme

u^*

s'appelle l'adjoint de

u

Méthode—Déterminer un adjoint

Soit

(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2

. Alors

v = u^*

si et seulement si

\forall (x, y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle

Exemple

\text{Id}_E^* = \text{Id}_E

. En effet, pour tout

(x, y) \in E^2

\langle \text{Id}_E(x), y \rangle = \langle x, y \rangle = \langle x, \text{Id}_E(y) \rangle

Application

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

. Montrer que

u = 0 \iff u^* \circ u = 0

Proposition—Propriétés de l'adjonction

Linéarité L'application

\begin{cases} \mathcal{L}(E) & \longrightarrow \mathcal{L}(E) \\ u & \longmapsto u^* \end{cases}

est linéaire.

Involutivité Pour tout

u \in \mathcal{L}(E)

(u^*)^* = u

.

Adjoint d'une composée Pour tout

(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2

(u \circ v)^* = v^* \circ u^*

.

Adjoint d'un inverse Si

u \in \text{GL}(E)

, alors

u^* \in \text{GL}(E)

(u^{-1})^* = (u^*)^{-1}

Remarque

La linéarité et l'involutivité montrent que l'application

\begin{cases} \mathcal{L}(E) & \longrightarrow \mathcal{L}(E) \\ u & \longmapsto u^* \end{cases}

est donc une symétrie vectorielle.

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

.
1. Montrer que

\ker u^* = (\text{Im } u)^\perp

et que

\text{Im } u^* = (\ker u)^\perp

.
2. En déduire que

\text{rg}(u) = \text{rg}(u^*)

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

. Montrer que l'adjonction induit un automorphisme de l'algèbre

\mathbb{R}[u]

Correction bientôt disponible

Proposition—Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

\mathcal{B}

une base orthonormée de

E

. Alors

\text{mat}_{\mathcal{B}}(u^*) = \text{mat}_{\mathcal{B}}(u)^\top

Remarque

Comme la trace, le rang, le déterminant, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont invariants par transposition, ils sont aussi invariants par adjonction.

Application

Soit

E

un espace euclidien. Montrer que

(f, g) \in \mathcal{L}(E)^2 \mapsto \text{tr}(f^* \circ g)

est un produit scalaire sur

\mathcal{L}(E)

Proposition—Adjoint et stabilité

F

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u \in \mathcal{L}(E)

, alors

F^\perp

est stable par

u^*

1. Adjoint d'un endomorphisme

1.1. Adjoint d'un endomorphisme

Remarque

On rappelle que

E^*

désigne l'espace dual d'un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

E

, c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur

E

. Autrement dit,

E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})

Théorème—Représentation des formes linéaires

L'application

\begin{cases} E & \longrightarrow E^* \\ a & \longmapsto (x \in E \mapsto \langle a, x \rangle) \end{cases}

est un isomorphisme.

Remarque

Ceci signifie en particulier que pour toute forme linéaire

\varphi \in E^*

, il existe un unique vecteur

a \in E

tel que

\forall x \in E, \; \varphi(x) = \langle a, x \rangle

Définition—Adjoint

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

. Il existe un unique

u^* \in \mathcal{L}(E)

tel que

\forall (x, y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle

Cet endomorphisme

u^*

s'appelle l'adjoint de

u

Méthode—Déterminer un adjoint

Soit

(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2

. Alors

v = u^*

si et seulement si

\forall (x, y) \in E^2, \; \langle u(x), y \rangle = \langle x, v(y) \rangle

Exemple

\text{Id}_E^* = \text{Id}_E

. En effet, pour tout

(x, y) \in E^2

\langle \text{Id}_E(x), y \rangle = \langle x, y \rangle = \langle x, \text{Id}_E(y) \rangle

Application

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

. Montrer que

u = 0 \iff u^* \circ u = 0

Proposition—Propriétés de l'adjonction

Linéarité L'application

\begin{cases} \mathcal{L}(E) & \longrightarrow \mathcal{L}(E) \\ u & \longmapsto u^* \end{cases}

est linéaire.

Involutivité Pour tout

u \in \mathcal{L}(E)

(u^*)^* = u

.

Adjoint d'une composée Pour tout

(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2

(u \circ v)^* = v^* \circ u^*

.

Adjoint d'un inverse Si

u \in \text{GL}(E)

, alors

u^* \in \text{GL}(E)

(u^{-1})^* = (u^*)^{-1}

Remarque

La linéarité et l'involutivité montrent que l'application

\begin{cases} \mathcal{L}(E) & \longrightarrow \mathcal{L}(E) \\ u & \longmapsto u^* \end{cases}

est donc une symétrie vectorielle.

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

.
1. Montrer que

\ker u^* = (\text{Im } u)^\perp

et que

\text{Im } u^* = (\ker u)^\perp

.
2. En déduire que

\text{rg}(u) = \text{rg}(u^*)

Application

Soit

u

un endomorphisme d'un espace euclidien

E

. Montrer que l'adjonction induit un automorphisme de l'algèbre

\mathbb{R}[u]

Correction bientôt disponible

Proposition—Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée

Soit

u \in \mathcal{L}(E)

\mathcal{B}

une base orthonormée de

E

. Alors

\text{mat}_{\mathcal{B}}(u^*) = \text{mat}_{\mathcal{B}}(u)^\top

Remarque

Comme la trace, le rang, le déterminant, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont invariants par transposition, ils sont aussi invariants par adjonction.

Application

Soit

E

un espace euclidien. Montrer que

(f, g) \in \mathcal{L}(E)^2 \mapsto \text{tr}(f^* \circ g)

est un produit scalaire sur

\mathcal{L}(E)

Proposition—Adjoint et stabilité

F

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u \in \mathcal{L}(E)

, alors

F^\perp

est stable par

u^*